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Aufgabe:

Es geht darum die Extrempunkte folgender Funktion zu finden: f(x,y) = \( \sqrt[2]{x^2-y^2+2x+4y} \)


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre über

\( f_1(x,y) = 0,5*(x^2-y^2+2x+4y)^{-0,5}*(2x+2) \) und

\( f_2(x,y) = 0,5*(x^2-y^2+2x+4y)^{-0,5}*(-2y+4) \)

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Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend. Daher ist die Funktion extremal wenn der Radikant extremal wird.

Der Radikant wächst allerdings hier über alle Grenzen und damit wächst auch die Wurzel über alle Grenzen.

Ist die Aufgabe so richtig gestellt?

Avatar von 487 k 🚀

Also ich persönlich komme eben auf einen Wendepunkt bei (-1|2), was mir eine Grafische Darstellung des Graphen auch naheliegt im Internet, aber in den Lösungen vom Prof steht, dass die Funktion bei (-1|2) ein Maximum hat

Eine grafische Darstellung legt einen Sattelpunkt nahe

blob.png

Ich habe keine Ahnung wie der Prof. auf ein Maximum kommt. Ich nehme an die Aufgabe ist so unvollständig oder fehlerhaft.

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Aloha :)

Wir formen zuerst die Funktionsgleichung etwas um:

$$f(x,y)=\sqrt{x^2-y^2+2x+4y}=\sqrt{x^2+2x+1-y^2+4y-4+3}$$$$\phantom{f(x,y)}=\sqrt{(x^2+2x+1)-(y^2-4y+4)+3}=\sqrt{(x+1)^2-(y-2)^2+3}$$

Damit die Wurzel gezogen werden kann, darf der Radikand nicht negativ sein, d.h.$$(x+1)^2-(y-2)^2+3\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad(y-2)^2\le(x+1)^2+3$$Bei Gleichheit wird der Radikand zu null und damit nimmt auch der Funktionswert sein Minimum null an, d.h. wir finden unendlich viele gloable Minima für$$y=2\pm\sqrt{(x+1)^2+3}\quad(\text{globale Minima)}$$

Wenn wir uns nicht am Rand des Definitionsbereichs bewegen, können wir die Differentialrechnung zum Auffinden von loaken Extrema anweden:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2-(y-2)^2+3}}\binom{x+1}{-(y-2)}\implies\binom{x}{y}=\binom{-1}{2}$$Wir finden einen Kandidaten bei \((-1|2)\), der wegen der ganzen globalen Minima drumherum vermutlich ein lokales Maximum ist.

Das müsste man jetzt noch mit der Hesse-Matrix prüfen, das ist mir aber jetzt zu viel Rechnerei ;)

Avatar von 152 k 🚀

f(x) = x^2 + 2x

hat ein Minimum für x = -1. Sobald ich das x allerdings ändere, wird der Funktionswert größer und damit auch die Wurzel

Das was du also angegeben hast ist ein Sattelpunkt und kein Hochpunkt.

Ich weiß nicht wie der Prof. darauf kommt. Ich nehme an die Funktion wurde irgendwie verkehrt übermittelt oder es fehlen Angaben.

Ich habe ja geschrieben, dass ich ein Maximum nur vermute. Ich war zu faul, die Hesse-Matrix zu bilden und das nachzuprüfen...

Mir fällt gerade auf, dass man den Sattelpunkt direkt an der Funktionsgleichung ablesen kann. Befinden wir uns nämlich im Punkt \((-1|2)\), sind beide Quadrate unter der Wurzel auf \(0\). Bewegen wir uns in \(\pm x\)-Richtung, wird die Funktion größer. Bewegen wir uns in \(\pm y\)-Richtung, wird die Funktion kleiner. Es liegt also tatsächlich ein Sattelpunkt vor.

Irgendwie habe ich das eben nicht gesehen... ich werde alt ;)

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