Aloha :)
Wir formen zuerst die Funktionsgleichung etwas um:
$$f(x,y)=\sqrt{x^2-y^2+2x+4y}=\sqrt{x^2+2x+1-y^2+4y-4+3}$$$$\phantom{f(x,y)}=\sqrt{(x^2+2x+1)-(y^2-4y+4)+3}=\sqrt{(x+1)^2-(y-2)^2+3}$$
Damit die Wurzel gezogen werden kann, darf der Radikand nicht negativ sein, d.h.$$(x+1)^2-(y-2)^2+3\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad(y-2)^2\le(x+1)^2+3$$Bei Gleichheit wird der Radikand zu null und damit nimmt auch der Funktionswert sein Minimum null an, d.h. wir finden unendlich viele gloable Minima für$$y=2\pm\sqrt{(x+1)^2+3}\quad(\text{globale Minima)}$$
Wenn wir uns nicht am Rand des Definitionsbereichs bewegen, können wir die Differentialrechnung zum Auffinden von loaken Extrema anweden:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2-(y-2)^2+3}}\binom{x+1}{-(y-2)}\implies\binom{x}{y}=\binom{-1}{2}$$Wir finden einen Kandidaten bei \((-1|2)\), der wegen der ganzen globalen Minima drumherum vermutlich ein lokales Maximum ist.
Das müsste man jetzt noch mit der Hesse-Matrix prüfen, das ist mir aber jetzt zu viel Rechnerei ;)
