Aloha :)
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" genau im \(n\)-ten Versuch eintritt ist:$$p_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$In den ersten \(n-1\) Versuchen muss das Gegenereignis "Zahl" eintreten und im \(n\)-ten Versuch muss das Ereignis "Kopf" eintreten. Den Erwartungswert \(\mu_A\) für den Auszahlungsbetrag \(A_n=2^n-1\) erhalten wir wie folgt:$$\mu_A=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\cdot p_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(2^n-1\right)\cdot\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\to\infty$$Die Summe divergiert, weil \((1-\frac{1}{2^n})\) keine Nullfolge ist. Die erwartete Auszahlung wird also unendlich groß.
b) Nach Deckelung des Höchstgewinns auf \(2^{20}\), erhalten wir als Erwartungswert für den Auszahlungsbetrag \(Y\):
$$\mu_Y=\sum\limits_{n=1}^{20} A_n\cdot p_n+\sum\limits_{n=21}^\infty 2^{20}\cdot p_n$$Beachte, dass die erste Summe bis \(20\) laufen muss, weil die Auzahlung für \(n=20\) nur \((2^{20}-1)\) Euro beträgt, also ein Euro weniger als die Deckeltung ab dem \(21\)-sten Versuch. Wir rechnen das aus:
$$\mu_Y=\sum\limits_{n=1}^{20} \left(2^n-1\right)\cdot\frac{1}{2^n}+\sum\limits_{n=21}^\infty 2^{20}\cdot \frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{20}1-\sum\limits_{n=1}^{20}\frac{1}{2^n}+2^{20}\sum\limits_{n=21}^\infty \frac{1}{2^n}$$$$\phantom{\mu_Y}=\sum\limits_{n=1}^{20}1-\left(\sum\limits_{n=0}^{20}\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^0}\right)+2^{20}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}-\sum\limits_{n=0}^{20}\frac{1}{2^n}\right)$$Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe erhalten wir:
$$\mu_Y=20-\left(\frac{1-\frac{1}{2^{21}}}{1-\frac{1}{2}}-1\right)+2^{20}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1-\frac{1}{2^{21}}}{1-\frac{1}{2}}\right)$$$$\phantom{\mu_Y}=20-2+\frac{1}{2^{20}}+1+2^{20}\left(2-2+\frac{1}{2^{20}}\right)=20+\frac{1}{2^{20}}$$
Der erwartete Auszahlungsbetrag beträgt also \(20,00\,€\) (genauer: \(20,000\,000\,954\,\,€\)). Daher sollte ein fairer Spieleinsatz bei \(20\,€\) liegen.
