Aloha gismooo ;)
Um Wurzeln zu sparen, berechnen wir das Quadrat des Betrages. Wegen \(|z|^2=z\cdot z^\ast\) finden wir mit Hilfe der komplexen Konjugation:
$$\phantom{=}\left|\frac{i+1}{2-i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\right|^2=\left(\frac{i+1}{2-i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\right)\left(\frac{-i+1}{2+i}-\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}\right)$$$$=\frac{i+1}{2-i}\cdot\frac{-i+1}{2+i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\cdot\frac{-i+1}{2+i}-\frac{i+1}{2-i}\cdot\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}+\frac{(i-3)^2}{2i+1}\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}$$$$=\frac{(1+i)(1-i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{(i-3)^2(1-i)}{(2i+1)(2+i)}-\frac{(i+1)(i+3)^2}{(2-i)(1-2i)}+\frac{(i-3)^2(i+3)^2}{(1+2i)(1-2i)}$$Beim ersten und letzten Bruch hilft uns die dritte binomische Formel sehr, bei den beiden in der Mitte müssen wir rechnen:
$$=\frac{1^2-i^2}{2^2-i^2}-\frac{(i^2-6i+9)(1-i)}{4i+2+2i^2+i}-\frac{(i+1)(i^2+6i+9)}{2-i-4i+2i^2}+\frac{[(i-3)(i+3)]^2}{1^2-(2i)^2}$$$$=\frac{1-i^2}{4-i^2}-\frac{(i^2-6i+9)-(i^2\,i-6i^2+9i)}{5i+2+2i^2}-\frac{(i^2\,i+6i^2+9i)+(i^2+6i+9)}{-5i+2+2i^2}+\frac{(i^2-9)^2}{1-4i^2}$$Setzen wir nun \(i^2=-1\) ein, fällt der Ausdruck in sich zusammen:
$$=\frac{2}{5}-\frac{(8-6i)-(8i+6)}{5i}-\frac{(8i-6)+(8+6i)}{-5i}+\frac{(-10)^2}{5}$$$$=\frac{2}{5}-\frac{(8-6i)-(8i+6)}{5i}+\frac{(8i-6)+(8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{-(8-6i)+(8i+6)+(8i-6)+(8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{-(\cancel8-6i)+(8i+\cancel6)+(8i-\cancel6)+(\cancel8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{28i}{5i}+\frac{100}{5}=\frac{130}{5}=26$$
Das Ergebnis ist die Wurzel aus dem Quadrat, also \(\boxed{\sqrt{26}}\). Ich würde es genauso angeben, denn zum Ausrechnen der Wurzel \(\approx5,09992\) bräuchtest du ja einen Taschenrechner ;)
