Bestimmen Sie die Nullstellen z1, z2, z3 des komplexen Polynoms z^3−1 und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Nullstellen z₁, z₂, z₃ des komplexen Polynoms z^3−1 und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren.

Comments

Vor drei Tagen schon von kriptoqqq gefragt.

:-)

Answer 1

Aloha gismooo ;)

Das Polynom \((z^3-1)\) hat eine offensichtliche reelle Nullstelle bei \(z=1\). Daher können wir \((z-1)\) ausklammern. Das kann man z.B. mit Polynomdivision machen oder so:$$z^3-1=z^3-z^2+z^2-z+z-1=z^2(z-1)+z(z-1)+(z-1)$$$$\phantom{z^3-1}=(z^2+z+1)(z-1)$$Die verbliebene quadratische Gleichung ist ein Fall für die pq-Formel:$$z_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-1}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{i^2\,\frac{3}{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\,i$$

Damiit haben wir alle 3 Nullstellen gefunden:$$z_1=1\quad;\quad z_2=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\,i$$