Aloha mlbi ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Wir unterscuhen die folgende Funktion auf Extrema:$$f(x,y)=10x^3-150x^2+9y^3-675y$$Kandidaten finden wir dort, wo der Gradient zum Nullvektor wird:
$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x,y)=\binom{30x^2-300x}{27y^2-675}=\binom{30x(x-10)}{27(y^2-25)}=\binom{30x(x-10)}{27(y-5)(y+5)}$$Das liefert vier mögliche Kandidaten:$$(0|-5)\quad;\quad(0|5)\quad;\quad(10|-5)\quad;\quad(10|5)$$Zur Kategorisierung benötigen wir die Hesse-Matrix:
$$H(x,y)=\left(\begin{array}{rr}60x-300 & 0\\0 & 54y\end{array}\right)$$Da die Elemente der Hesse-Matrix noch von \(x\) und \(y\) abhängen, sind alle möglichen Extrema, die wir im Folgenden finden, erstmal nur lokal. Wir setzen die Kandidaten der Reihe nach ein:
$$H(0|-5)=\begin{pmatrix}-300 & 0\\0 & -270\end{pmatrix}\implies\lambda_1=-300\;;\;\lambda_2=-270\implies\text{Maximum}$$Da beide Eigenwerte negativ sind, ist die Matrix negativ definit. Wir haben ein lokales Maximum.
$$H(0|5)=\begin{pmatrix}-300 & 0\\0 & 270\end{pmatrix}\implies\lambda_1=-300\;;\;\lambda_2=270\implies\text{Sattelpunkt}$$Da positive und negative Eigenwerte existieren, ist die Matrix indefinit. Wir haben einen Stattelpunkt.
$$H(10|-5)=\begin{pmatrix}300 & 0\\0 & -270\end{pmatrix}\implies\lambda_1=300\;;\;\lambda_2=-270\implies\text{Sattelpunkt}$$Da positive und negative Eigenwerte existieren, ist die Matrix indefinit. Wir haben einen Stattelpunkt.
$$H(10|5)=\begin{pmatrix}300 & 0\\0 & 270\end{pmatrix}\implies\lambda_1=300\;;\;\lambda_2=270\implies\text{Minimum}$$Die beiden Eigenwerte sind positiv, die Matrix ist positiv definit. Wir haben ein lokales Minimum.
Da die Definitonsmenge der Funktion \(\mathbb R^2\) ist, haben wir keine Randextrema, die eventuell global sein könnten. Damit sind unsere beiden gefundenen Extrema das einzige Maximum und das einzige Minimum und müssen daher global sein.
