Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s?

Question

Aufgabe:

Eine Kugel wird von der Dachkante eines \( 140 \mathrm{~m} \) hohen Gebäudes mit der Abschussgeschwindigkeit \( 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) lotrecht nach oben geschossen. Nach \( \mathrm{t} \) Sekunden hat sie die Höhe \( \mathrm{s}(\mathrm{t})=140+60 \mathrm{t}-5 \mathrm{t}^{2} \)erreicht (s in Meter, t in Sekunden).

1) Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe?

2) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s?

3) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel nach 5 s?

4) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Ansatz/Problem:

1) ist bei mir 12s

2) hier komme ich auch nicht weiter

bei 3) kommt bei mir 10m/s raus

bei 4) bin ich mir nicht sicher

-5t² + 60t + 140 = 0

a = -5    b = 60    c = 140
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a = (-60±√(〖(-60)〗^2-4(-5)140))/(2(-5))=(-60±√(3600-(-2800)))/(-10)=(-60±√6400)/(-10)=(-60±80)/(-10)
x1 = (-60+80)/(-10) = 20/(-10)= -2
x2 = (-60-80)/(-10)=(-140)/(-10)=14

Das Endergebnis soll ich in die Ableitung s'(t) einsetzen, um die Lösung zu erhalten. Ich habe 2 Lösungen: x_1 und x_2. Woher bzw. wie weiß ich nun, welches von den beiden Ergebnissen ich in die Ableitung einsetzen muss? x_1 oder x_2?

Answer 1

h ( t ) = 140 + 60 * t -5 * t ^{2}

1) Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe?
ohne die 140 m
h ( t ) = 60 * t - 5 * t^2 = 0
h ( t ) = t * ( 60 - 5 * t )
Satz vom Nullprodukt
t = 0
und
60 - 5 * t = 0
t = 12 sec

2) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s?
h ´( t ) = 60 - 5 * t * 2
h ´( t ) = 60 - 10 * t
h ´( 0 ) = 60
h ´( 5 ) = 10
Der Geschwindigkeitszuwachs/abnahme verläuft
linear ( 60 + 10 ) / 2 = 35 m/s

3) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel nach 5 s?
h ´( 5 ) = 10 m/s

4) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?
nach 6 sec ist der Hochpunkt erreicht
h ( 6 ) = 60 * 6 - 5 * 6^2 = 180 m
Die Kugel fällt von 180 + 140 auf den Boden
h ( t ) = 5 * t^2 - 60 * t = 320 m
t = 16 sec

h ´( 16 ) = 5 * 2 * 16 - 60 = 100 m/s

Frage nach bis alles klar ist.

Comments

Erstmal

ich glaube, dass bei 4) ein Fehler unterlaufen ist: bei den Lösungen steht nämlich v=-80m/s

könnte man 2) mit dem Differenzenquotient berechnen? Mein Lehrer hat als Lösungsansatz (s(5)-s(0))/(5-0) angegeben. Wie würde man hierbei vorgehen?

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und warum muss man bei 2) am Ende mit 2 dividieren, um auf die 35 zu kommen?

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h ´( 0 ) = 60
h ´( 5 ) = 10
Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist 60 m/s.
Die Geschwindigkeit bei t = 5 ist 10 m/s.
Dazwischen fällt die Geschwindigkeit
linear ab.
Die mIttlere Geschwindigkeit ist
( 60 + 10 ) / 2 = 35 m/s

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-5*t^2 + 60*t + 140 = 0
t = 14 sec
ist richtig. Ich hatte die Aufstiegsphase
nicht richtig berücksichtigt.

h ´( 14 ) = -10 * 14 + 60
h ´( t ) = v ( t ) = 80 m/s

( s(5) - s(0) ) / (5-0)
( 315 m - 140 m) / 5 sec

35 m/s

Answer 2

1) ist bei mir 12s          stimmt.

2) Berechne ( s(5)-s(0) ) / ( 5-0) 

bei 3) kommt bei mir 10m/s raus  stimmt auch

bei 4) bin ich mir nicht sicher

alles richtig bis  :

Das Endergebnis soll ich in die Ableitung s'(t) einsetzen, um die Lösung zu erhalten. Ich habe 2 Lösungen: x_1 und x_2. Woher bzw. wie weiß ich nun, welches von den beiden Ergebnissen ich in die Ableitung einsetzen muss? x_1 oder x_2?  Sinn macht doch nur t=14 . Das andere wären ja 2 s vor dem

Abschuss. Da gilt die Gleichung gar nicht.

Also: Nach 14s am Boden mit Geschw. s ' (14) = -80 m/s .