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Eine Gruppe von 18 Personen überquert die Grenze zwischen zwei Staaten.

3 Personen führen Schmuggelware mit sich.

Beim Grenzübertritt werden 6 Personen zufällig ausgewählt und kontrolliert.


1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 6 kontrollierten Personen die 3 Schmuggler sind.


2. Berechne die Wahrscheinlichkeit dass unter den 6 kontrollierten Personen mindestens ein Schmuggler dabei ist.

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Aloha :)

1) Von den 3 Schmugglern sollen alle 3 ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{3}{3}\) Möglichkeiten. Von den 15 Ehrlichen müssen auch 3 ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{15}{3}\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es \(\binom{18}{6}\) Möglichkeiten, aus 18 Personen genau 6 auszuwählen. Damit haben wir alles zusammen, was wir brauchen:

$$p(\text{=3 Schmuggler})=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{3}{3}\cdot\binom{15}{3}}{\binom{18}{6}}=\frac{1\cdot455}{18\,564}$$$$\phantom{p(\text{=3 Schmuggler})}\approx0,024510$$

2) Wir berechenn die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 6 Kontrollierten kein Schmuggler ist und nehmen das Gegenereignis dazu. Von den 3 Schmugglern müssen 0 ausgewählt werden, von den 15 Ehrlichen müssen 6 ausgewählt werden.

$$p(\text{\(\ge1\) Schmuggler})=1-p(\text{=0 Schmuggler})=1-\frac{\binom{3}{0}\cdot\binom{15}{6}}{\binom{18}{6}}=1-\frac{1\cdot5005}{18\,564}$$$$\phantom{p(\text{\(\ge1\) Schmuggler})}\approx0,730392$$

Avatar von 152 k 🚀

Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort :D

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