f(x)= -3x² +2x - 1. Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion f(x) an der Stelle x =-2?

Question

ich habe 2 aufgaben die ich nicht hinbekomme und hoffe ihr könnt mir helfen! meine

1. aufgabe :
gegeben ist die funktion f(x)= -3x² +2x - 1 .
a)welchen anstieg hat der graph der funktion f(x) an der stelle x =-2 ?
b) geben sie die gleichung der tangente an den graphen von f(x) an der stelle x= 1 an!
c)bestimmen sie die tangente an den graphen von f(x) die parallel zur geraden y= 4x -2 liegt!

und hier meine
2. aufgabe:
Der parameter a einer kurvenschar fa(x) = 0,25 (x^4 - ax^2) soll so gewählt werden, dass der graph bei x = 1 einen wendepunkt hat.
wie lauten die koordinaten des zweiten wendepunktes?
wo liegen allgemein die wendepunkte von fa ?
stellen sie die gleichung der wendetangente auf.

ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Comments

Der Editor hat leider alle Zeilenumbrüche eliminiert und somit die Strukturierung der Fragestellung. Habe einige eingefügt.( mit SHIFT ENTER). Hoffentlich in etwa dort, wo sie sein sollten. (?)

---

Ja, die zeilenumbrüche sind alle da wo sie sein sollten.

Answer 1

1a) Die Steigung einer Funktion f ( x ) an einer Stelle x₀ ist gleich dem Wert der Ableitung von f ( x ) an dieser Stelle.

Die Ableitung von f ( x ) ist :

f ' ( x ) = - 6 x + 2 ,

also gilt für die Steigung m von f ( x ) an der Stelle x₀ = - 2 :

m = f ' ( - 2 ) = - 6 * ( - 2 ) + 2 = 14

 

1b)

Die Steigung m der Tangente an der Stelle x = 1 muss gleich der Steigung von f ( x ) an dieser Stelle sein, also

m = f ' ( 1 ) =  - 6 + 2 = - 4

Außerdem muss die Tangente durch den Punkt ( 1 | f ( 1 )  )  =  ( 1 | - 2 ) gehen.

Daraus kann man nun den y-Achsenabschnitt b der Tangente bestimmen. Es gilt:

- 2  = - 4 * 1 + b 

<=> b = - 2 + 4 = 2

Die gesuchte Tangentengleichung ist also: y = - 4 x + 2

 

1 c )

Die Tangente muss dieselbe Steigung wie die gegebene Gerade haben, damit sie zu dieser parallel ist., aslo:

m = 4

Nun muss man eine Stelle x finden, an der f ' ( x ) den Wert 4 hat, also:

f ' ( x ) = 4

<=> - 6 x + 2 = 4

<=> 6 x = - 2

<=> x = - 1 / 3

Der Funktionswert von f ( x ) an der Stelle x = - 1 / 3 ist :

f ( - 1 / 3 )  = -3 * ( - 1 / 3 ) ² + 2 * ( - 1 / 3 ) - 1 = ( - 1 / 3 ) - ( 2 / 3 ) - 1 = - 2

Also muss die Tangente durch den Punkt ( - 1 / 3 | - 2 ) gehen. Daraus lässt sich nun wieder der y- Achsenabschnitt b berechnen:

- 2 = 4 * ( - 1 / 3 ) + b

<=> b = - 2 + ( 4 / 3 ) = - 2 / 3 

Also lautet die gesuchte Tangentengleichung:

y = 4 x - ( 2 / 3 )

Hier ein Schaubild mit den Graphen der Funktion f ( x ) , der Tangenten an der Stelle x = 1, der gegebenen Geraden und der zu dieser Geraden parallelen Tangenten an f ( x )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-3x%C2%B2%2B2x-1%2C-4x%2B2%2C4x-2%2C4x-%282%2F3%29from-1+to1

 

Notwendig für einen Wendepunkt von f_a ( x ) an der Stelle x = 1 ist, dass die zweite Ableitung von f_a ( x ) an dieser Stelle den Wert Null hat, also:

f_a ' ( x ) =0,25 ( 4 x³ - 2 a x )

f_a ' ' ( x ) = 0,25 ( 12 x ² - 2 a )

f_a ' ' ( 1  ) = 0

<=> 0,25 ( 12 * 1 ² - 2 a ) = 0

<=> 12 - 2 a = 0

<=> 12  =  2 a

<=> a = 6

Hinreichend für einen Wendepunkt ist, dass f₆ ' ' ' ( 1 ) ungleich 0 ist.

f₆ ' ' ' ( x  ) = 0,25 * 24 x = 6 x 

f₆ ( 1   ) = 6 <> 0

Also hat f₆ ( x ) tatsächlich einen Wendepunkt an der Slelle  x = 1 ,nämlich den Punkt ( 1 | - 1,25 )

 ( 1 |

Die Gleichung von f₆  ( x ) ist:

f₆ ( x ) = 0,25 ( x ⁴ - 6 x ² ) 

 

Die zweite Wendestelle findet man, indem man die Nullstellen von f₆ ' ' ( x ) bestimmt, also:

f₆' ' ( x  ) = 0

<=> 0,25 ( 12 x ² - 12 ) = 0

<=> 12 x ² = 12

<=> x ² = 1

<=>  x = 1 oder x = - 1

Da f₆' ' ' ( - 1 ) <> 0 ist, liegt auch bei x = - 1 eine Wendestelle von f₆ ( x ) vor. Der entsprechende Wendepunkt W₂ ist

W₂ = ( - 1 | f₆ ( -1 ) = ( - 1 | - 1,25 )

 

Allgemein liegen die Wendepunkte von f_a ( x ) an den Stellen , an denen gilt:

f_a ' ' ( x ) = 0

<=> 0,25 ( 12 x ² - 2 a ) = 0

<=> 12 x ² - 2 a = 0

<=> 12 x ² = 2 a

<=> x ² = a / 6

<=> x = - √ ( a / 6 ) oder x = √ ( a / 6 )

(Hier ergibt sich eine Möglichkeit zur Überprüfung der vorherigen Ergebnisse:
Für a = 6 ergeben sich die Wendestellen x = - 1 und x = 1 , dies stimmt mit den vorangegangenen Ergebnissen überein.)

Die allgemeinen Wendepunkte sind:

W_a,1 = ( - √ ( a / 6 ) | 0,25 ( ( - √ ( a / 6 ) ) ⁴ - a ( - √ ( a / 6 ) ) ² ) )

= ( - √ ( a / 6 ) | 0,25 ( ( a ² / 36 ) - ( a ² / 6 ) ) )

= ( - √ ( a / 6 ) |  ( a ² / 144 ) - ( a ² / 24 )  )

W_a,2 = (  √ ( a / 6 ) | 0,25 ( (  √ ( a / 6 ) ) ⁴ - a (  √ ( a / 6 ) ) ² ) )

= ( - √ ( a / 6 ) | 0,25 ( ( a ² / 36 ) - ( a ² / 6 ) ) )

= (  √ ( a / 6 ) |  ( a ² / 144 ) - ( a ² / 24 )  )

 

Die Berechnung der Wendetangenten muss ich nochmals verschieben ...