Partielle Ableitung: Extrempunkte finden

Question

Aufgabe:

Ich soll den lokalen Extrempunkt dieser Funktion finden & herausfinden, ob es ein lokales Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt ist.

f(x,y) = 2x²-3xy+y²-x+y-4

Ich weiß zwar, dass ich erstmal die notwendige Bedingung überprüfen muss, also df/dx (x_o,y_o) = 0. Jedoch bin ich etwas verwirrt, wie genau ich das berechnen muss.

Die erste Ableitung für fx: df/dx = 4x-3y-1 und für fy: df/dy = 2y-3x+1

Könnte mir jemand behilflich sein & mir erklären oder vorrechnen, was ich jetzt genau machen muss?

Danke für die Hilfe! :-)

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitungen hast du bereits richtig bestimmt. An einem kritischen Punkt muss der Gradient verschwinden:

$$\binom{0}{0}\stackrel!=\binom{4x-3y-1}{-3x+2y+1}\implies(x;y)=(1;1)$$Es gibt also einen kritischen Punkt, sprich einen Kandidaten für ein Extremum. Zur Prüfung einer hinreichenden Bedingung bilden wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}4 & -3\\-3 & 2\end{pmatrix}$$und prüfen ihre Definiitheit über die Eigenwerte:

$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}4-\lambda & -3\\-3 & 2-\lambda\end{vmatrix}=(4-\lambda)(2-\lambda)-9=\lambda^2-6\lambda-1\implies\lambda_{1;2}=3\pm\sqrt{10}$$Wir haben also positive und negative Eigenwerte. Daher ist die Hesse-Matrix indefinit und unser Kandidat ist nur ein Sattelpunkt, kein Extremum.

Answer 2

Jetzt hast Du doch ein lineares Gleichungssystem für zwei Unbekannte das man lösen kann.

Comments

Ja, hab ich jetzt gemacht für x = 1 & y = 1 rausbekommen, wie genau rechne ich dann damit weiter oder habe ich mich komplett verrechnet?

Ich weiß, dass ich noch die hinreiche Bedingung berechnen muss, aber muss ich nicht noch irgendwas berechnen für die notwendige Bedingung?

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Jetzt die Hessematrix aufstellen und schauen ob sie definit oder indefinit ist.

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Danke für die Hilfe:-)