Begründe, dass das Parallelenaxiom im Poincare-Modell (und im Klein-Modell) nicht gültig ist.

Question

Aufgabe:

Begründe, dass das Parallelenaxiom im Poincare-Modell (und im Klein-Modell) nicht gültig ist.

Parallelenaxiom: Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P ist Element von h und g II h.

Meine Begründung:

Das Parallelen-Axiom ist im Poincare-Modell nicht erfüllt: zu jeder Gerade g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es unendlich viele Parallelen zu g durch P.

Auch beim Klein-Modell ist das Parallelenaxiom nicht erfüllt: es gibt mehrere Parallelen zu g durch P.

Ist meine Begründung richtig?

Answer 1

gibt es unendlich viele Parallelen zu g durch P.

Das will ich sehen!

Im Moment beschränkt sich deine Begründung auf "Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert nicht genau eine Gerade h mit P ∈ h und g || h, weil es zu jedem Punkt P und jeder Geraden g unendlich viele Geraden h mit P ∈ h und g || h gibt".

Das ist zwar korrekt, aber als Begründung etwas mager. Vielleicht solltest du noch angeben, wie man aus P und g zwei verschiedene h konstruiert, die P ∈ h und g || h erfüllen.

Comments

wie man aus P und g zwei verschiedene h konstruiert, die P ∈ h und g || h erfüllen.

Man muss ja einfach weiter Kreisbögen einzeichnen/konstruieren, die g nicht schneiden (damit sind sie parallel, weil der Schnitt zwischen g und h leer ist) und durch P gehen.

Wie sähe dann die formale Begründung aus?

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Du brauchst nicht zu jeder beliebigen Gerade g und jedem Punkt P zeigen, dass es mehr als eine zu g parallele Gerade durch P gibt. Es genügt, wenn di ein Beispiel angibst.

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Also wäre der Beweis:

Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert nicht genau eine Gerade h mit P ∈ h und g || h, weil es zu jedem Punkt P und jeder Geraden g unendlich viele Geraden h mit P ∈ h und g || h gibt.

Ein Beispiel für eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet (Schnitt p und g leer) wäre: h: (a-1)x^2+bx^2=c^2, wobei g: jx^2+kx^2=d^2

Oder wie? ^^