1. Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

…

Gegeben sei die Funktion

F(x1,x2)=e−0.25x1−0.05x2+0.1x1x2.

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a=(2.9,1.4) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F.

Habe -0,7 herausbekommen, ist aber falsch... wieso?

Comments

Was macht denn das \(e\) in der Funktionsgleichung? Bedeutet das "e hoch" und dann der ganze Rest?

Answer 1

Hm. Wenn man sich da mal eine Skizze macht, sieht man bereits, dass die Änderung positiv sein sollte. Anhand der Skizze kann man die auch schon ungefähr abschätzen. Ich komme auf einen Wert von ca. 0.46

~plot~ 2.5-5.28/(2x-1);0.46(x-2.9)+1.4;{2.9|1.4} ~plot~

Answer 2

Aloha ;)

Die Aufgabenstellung ist leider nicht eindeutg. Ich vermute einfach mal, das vorangestellte \(e\) ist die Basis und alles, was darauf folgt, steht im Exponenten, also:

$$F(x,y)=e^{-0,25x-0,05y+0,1xy}\quad;\quad(a_x|a_y)=(2,9|1,4)\quad;\quad dF=0\quad;\quad dy=?$$

Da das Produktionsniveau beibehalten werden soll, muss \(dF=0\) gelten. Mit Hilfe des totalen Differentials können wir daraus eine Formel für \(dy\) herleiten:

$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy\implies\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=-\frac{\partial F}{\partial x}\,dx\implies dy=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\,dx$$Wir leiten ab und setzen ein:

$$dy=-\frac{e^{-0,25x-0,05y+0,1xy}\,(-0,25+0,1y)}{e^{-0,25x-0,05y+0,1xy}\,(-0,05+0,1x)}\,dx=-\frac{-5+2y}{-1+2x}\,dx$$Wir setzen den Punkt \((2,9|1,4)\) und finden:

$$dy=-\frac{-5+2\cdot1,4}{-1+2\cdot2,9}\,dx=-\frac{-2,2}{4,8}\,dy=0,458\overline3\,dx$$