Aloha :)
Die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe lautet:$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad;\quad |x|<1$$Solange wir uns im Konvergenzradius der Reihe bewegen, also \(|x|<1\) gilt, können wir die die Reihe differenzieren, indem wir die einzelnen Summanden differenzieren:
$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)\implies\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}$$Für \(x=\frac{1}{2}\) folgt der gesuchte Grenzwert:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$$
