Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zehn- und höchstens zwölfmal rot kommt?

Question

Beim Roulette wird eine Kugel in einen rotierenden Kessel geworfen.

Die Kugel kann in einem der 37 Fächern, nummeriert von 0 bis 36, zum liegen kommen.
Jeweils 18 Fächer sind rot bzw. schwarz. Es werden 37 Spiele gespielt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zehn- und höchstens zwölfmal rot kommt?



Ich komme immer auf unrealistische Lösungen.. n=37    P=18/37    k=mindesten 10
Dann muss ich ja zuerst die Wahrscheinlichkeiten für 1−9 ausrechnen und die dann von 1 abziehen oder? Geht das nicht auch einfacher?

Bei höchstens muss man dann ja die Wahrscheinlichkeiten von 1−12 addieren aber auch das ist ein aufwendiger und langer Rechenweg und da komme ich auch auf unrealistische Lösungen.Stehe total auf dem Schlauch..

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\begin{aligned}P(10\leq X \leq 12)&=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12) \\ &=\sum \limits_{k=10}^{12}\begin{pmatrix} 37\\k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{18}{37}\right)^k\cdot \left(\frac{19}{37}\right)^{37-k} \\ & \approx 0.032\end{aligned}$$

Comments

Damit haben wir ja gerade mindestens ausgerechnet oder? Die Lösung hatte ich nämlich auch raus, jedoch sah das so unrealistisch aus..

Und wenn ich jetzt höchstens ausrechnen möchte? Dann muss ich 1-0.032 ausrechnen oder?

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Damit haben wir ja gerade mindestens ausgerechnet oder?

Nein, das ist richtig. Die Wahrscheinlichkeit ist nur deshalb so gering, weil wir uns so stark auf diese drei Ereignisse (10-mal, 11-mal, 12-mal) einschränken. Auch, wenn die Anzahl auf den ersten Blick nicht so unwahrscheinlich erscheint, ist es unwahrscheinlich, dass wir genau in diesem Spektrum landen und nicht etwa 8-mal, 13-mal, 18-mal usw. Rot aufkommt.

Mindestens 10:$$P(X\geq 10)=\sum \limits_{k=10}^{37}\begin{pmatrix} 37\\k\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{18}{37}\right)^k\cdot \left(\frac{19}{37}\right)^{37-k} \approx 0.998$$Höchstens 12$$P(X\leq 12)=\sum \limits_{k=0}^{12}\begin{pmatrix} 37\\k\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{18}{37}\right)^k\cdot \left(\frac{19}{37}\right)^{37-k} \approx 0.0342$$

Answer 2

P(10 ≤ X ≤ 12) = ∑ (x = 10 bis 12) ((37 über x)·(18/37)^x·(19/37)^(37 - x)) = 0.0321

oder du berechnest das mit dem Taschenrechner mit der von 0 an kumulierten Binomialverteilung.

P(10 ≤ X ≤ 12) = P(X ≤ 12) - P(X ≤ 9) = 0.0342 - 0.0022 = 0.0320

Einige Taschenrechner können auch gleich die Kumulierte Wahrscheinlichkeit mit unter und obergrenze berechnen.