Question

Sind diese Mengen Untervektorräume von R³?

1. U ={ \( \vec{x} \) ∈ R³ : x₁x₂x₃ = 0; x₁x₃ ≥ 0 }

Soll das nun eine multiplikation zwischen den x-en sein?

Wenn ja hätte ich folgenden Ansatz: \( \vec{0} \) ∈ U: 0*0*0=0 und 0*0 ≥ 0. Stimmt ja beides also nächster Schritt:

\( \vec{x} \) ,\( \vec{y} \) ∈ U -> \( \vec{x} \)  + \( \vec{y} \) ∈ U:

(x1+y1)*(x2+y2)*(x3*y3)= x1x2x3 + x1x2y3 + x1y2x3 + x1y2y3 + y1x2x3 + y1x2y3 + y1y2x3 + y1y2y3

Kann ich hier von jedem Part mit einem x Ausgehen, das dieser 0 wird oder wie mache ich hier weiter?

Und der 3 Schritt: (a*x1)*(a*x2)*(a*x3) = 0, da hier alle x = 0 wählbar sind und somit auch alles 0 ist.

Genauso bei (a*x1)*(a*x3)≥0

2.U = { p ∈ P_n : p(x) = p(-x) , x ∈ R}

Hier weis ich nicht wie ich vorgehen soll.

p(0) = p(-0) = 0 bzw. p(0) - p(-0) = 0 . Allerdings wenn ich etwas anderes als 0 einsetze ist p(x) = p(-x) ja nicht mehr erfüllt?

(Und wieder der zweite Schritt den ich allerdings in diesem Bsp. nicht verstehe.

Und der dritte: a* p(x) - a* p(-x) = 0, da ich hier für p(0) oder p(-0) gleich 0 habe.)

Comments

2.U = { p ∈ P_n : p(x) = p(-x) , x ∈ R}

Was ist P_n?

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Das weiß ich leider auch nicht sicher. Ich denke es steht für den Vektorraum R^2 oder R^3.

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Wenn es für den Vektorraum R² oder R³ stehen würde, dann würde da R² bzw. R³ stehen.

Das weiß ich leider auch nicht sicher.

Ändere das.

Der Teil "p(x) = p(-x)" sieht danach aus, also ob P_n eine Menge von Funktionen ist.

Ist das tatsächlich der Fall, dann ist U kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^3\), weil die Elemente von \(\mathbb{R}^3\) keine Funktionen sind.

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Und wäre U dann ein Untervektorraum von P_n?

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Was ist P_n?

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Weis ich wie gesagt leider nicht aber vielleicht wie Sie gesagt haben eine Menge von Funktionen.

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Weis ich wie gesagt leider nicht

Ändere das.

Answer 1

Aloha :)

1)\(\quad U=\{\vec x\in\mathbb R^3\;\big|\;x_1x_2x_3=0\;;\;x_1x_3\ge0\}\)

1a) Prüfung, ob der Nullvektor in \(U\) enthalten ist:$$\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies x_1x_2x_3=0\cdot0\cdot0=0\;;\;x_1x_3=0\cdot0\ge0\quad\checkmark$$

1b) Prüfung auf Abgeschlossenheit bzgl. Addition:

Betrachte die beiden folgenden Vektoren:$$\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in U\quad;\quad\vec y=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\in U\implies\vec x+\vec y=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\not\in U$$Da \(x_3=0\) und \(y_1=0\) ist, sind \(\vec x\) und \(\vec y\) in \(U\) enthalten. Die Summe beider Vektoren ist wegen \((x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)=1\cdot1\cdot1=1\ne0\) jedoch nicht in \(U\) enthalten. Die Menge \(U\) ist daher nicht abgeschlossen bezüglich der Addition und daher kein Unterverktorraum des \(\mathbb R^3\).

2) \(\quad U=\{p\in P_n[x]\;\big|\;p(x)=p(-x)\;;\;x\in\mathbb R\}\)

\(P_n[x]\) ist die Menge aller Polynome vom Grad \(n\). \(U\) enthält daher alle geraden Polynome.

2a) Prüfung, ob das Nullpolynom in \(U\) enthalten ist:$$p(x)=0\implies p(x)=p(-x)\quad\checkmark$$

2b) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:

Seien \(p\) und \(q\) zwei gerade Polyone, dann gilt:$$(p+q)(x)=p(x)+q(x)=p(-x)+q(-x)=(p+q)(-x)\quad\checkmark$$

2c) Abeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation:

Sei \(p\) ein gerades Polynom und \(a\in\mathbb R\), dann gilt:$$(a\cdot p)(x)=a\cdot p(x)=a\cdot p(-x)=(a\cdot p)(-x)\quad\checkmark$$

Die Menge der geraden Polynome bildet also einen Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome.

Comments

Wie kann ich entnehmen bzw. woher weiß ich, dass I alle geraden Polynome enthält?

Kann n nicht auch ungerade sein?

Danke für den Rest sehr verständlich.

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Bei 1b) wären andere Variablen für die Beispielvektoren besser.

So passt   \(x_1x_2x_3=1\ne0\)  nicht.

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@Flygeist:

\(P_n\) ist die Menge aller Polynome vom Grad \(n\). Da \(n\) nicht näher bestimmt ist, müssen wir davon ausgehen, dass hier alle Polynome gemeint sind. In der Menge \(U\) ist ein Polynom genau dann, wenn \(p(x)=p(-x)\) gilt. Diese Bedinung definiert ein achsensysmmetrisches bzw. gerades Polynom.

@Wolfgang:

Ich habe die Stelle etwas genauer formuliert...

Answer 2

Soll das nun eine multiplikation zwischen den x-en sein?

Ja.

Kann ich hier von jedem Part mit einem x Ausgehen, das dieser 0 wird

Nein. Außer du findest einen Grund dafür.

wie mache ich hier weiter?

Wähle \(\vec{x}, \vec{y} \in U\) so, dass \(\vec{x}+\vec{y}\notin U\) ist.

Und der 3 Schritt

Kannst du dir sparen, weil \(U\) kein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^3\) ist.