Unvektorräume und Isomorphismus.

Question

Aufgabe:

Isomorphie bei Vektoren nachweisen

Problem/Ansatz:

Ich habe im Anhang die Aufgabe hinzugefügt. Ich bin mir leider unsicher allgemein beim beweisen von Isomorphismus und bräuchte daher eine ausführliche Erklärung, falls möglich. Es handelt sich um die Aufgabe 1.

Text erkannt:

Mathematik 1 (WS \( 2020 / 21 \) ) Hausübung 1
Aufgabe 1 Isomorphie \( (5 \) Punkte) Es sei
$$ U=\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$
ein Untervektorraum von \( \mathrm{F}_{2}^{3} \). Zeigcn Sie, dass \( U \) isomorph \( \mathrm{zu} \mathrm{F}_{2}^{2} \) ist. Geben Sie dafür eine gccignete Abbildung an und beweisen Sie ihre Isotnorphie.
Aufgabe 2 Basis \( (5 \) Punkte) Es seicn
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 7 \\ 4 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l} 8 \\ 27 \\ 14 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
Ist \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) eine Basis? Wenn nein, grben Sie eine Basis von \( \operatorname{Lin}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) an. Stellen Sie
$$ w=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) \in \mathrm{R}^{3} $$
als Linearkombination der Basis dar.
Aufgabe 3 Der Kern eines Bildes \( (5 \) Punkte)

Answer 1

Zeigcn Sie, dass \( U \) isomorph \( \mathrm{zu} \mathrm{F}_{2}^{2} \) ist.

Wähle eine geordnete Basis \(\mathcal{B}_U\) von \(U\).

Wähle eine geordnete Basis \(\mathcal{B}_{\mathrm{F}_2^2}\) von \(\mathrm{F}_2^2\).

Die Abbildung \(\varphi :U\to \mathrm{F}_2^2\) bilde jeden Vektor \(u\in U\) auf den Vektor in \(\mathrm{F}_2^2\) ab, der bezüglich \(\mathcal{B}_{\mathrm{F}_2^2}\) die gleichen Koordinanten hat wie \(u\) bezüglich \(\mathcal{B}_{U}\).

Dann ist \(\varphi\) ein injektiver Homomorphismus. Haben \(\mathcal{B}_U\) und \(\mathcal{B}_{\mathrm{F}_2^2}\) die gleiche Anzahl von Elementen, dann ist \(\varphi\) ein Isomorphismus.

Ist \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) eine Basis?

\( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) ist eine Basis, wenn \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) linear unabhängig ist.