Gegeben seien der Vektorraum

Question

Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum \( V=\mathbb{C}^{3} \) und die Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) und \( w \) aus \( V: \)
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} i \\ 2 \\ 7 i \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 3 \end{array}\right) \text { und } w=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) \)
(a) Untersuchen Sie, ob die Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) eine Basis von \( V \) bilden.
(b) Stelle Sie den Vektor w als Linearkombination der Vektoren \( v_{1}, v_{2} \) und \( v_{3} \) dar.

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand bei der Lösung helfen

Comments

könnte mir jemand bei der Lösung helfen

Wie weit bist Du denn bereits gekommen?

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ich habe versucht ,die Aufgabe zu lösen aber mir ist irgendwas nicht klar.

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Hallo

was ist dir nicht klar? wie man lineare Unabhängigkeit beweist? wenn die 3 Lin Unabhängig sind kann man keine Linearkombination finden ,die sie zu 0 machst wenn nicht alle Koeffizienten  (aus C) 0 sind.

also schreib sie als Matrix, kannst du eine Nullzeile erzeugen?

b) ist einfach ein Gleichungssystem lösen.

jetzt sag, was daran du versucht hast und nicht kannst.

Gruß lul

Answer 1

Das in dem Kommentar angesprochene homogene lin. Gleichungssystem,

kannst du mit dem Gaussalgorithmus auf Dreiecksform bringen. Gibt z.B.

1    i   1 
0    1    -i/3
0    0      1

also keine Nullzeile. ==> Die Vektoren sind lin. unabh.

Und da V hier ja wohl als C-Vektorraum betrachtet wird, ist dim(V)=3,

also bilden je 3 lin. unabh. Vektoren eine Basis.

Und um w darzustellen musst du wieder ein lin. Gl.system lösen

1    i     1       1
i    2      i      0
1    7i    3      9

mit Gauss

1       0      0      -7/3
0      1       0        -i/3
0      0       1         3

Also -7/3 * v1 -i/3 *v2 + 3v3 = w