Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix m ( F α ) m .

Question

Aufgaben:

Lineare Abbildungen und Bijektivität

Problem/Ansatz:

Gegeben sei der Raum Pol₃  R mit (Monom-) Basis M: 1 , X , X²  , X ³ . Abhängig von α ∈ R betrachten wir die Abbildung

F^α : Pol₃  R -> Pol ₃ R : p -> p - αp' - αX² . p'' + 1/6 ( 1+ α ) X³ . p '''.

a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix _m ( F ^α ) _m .

Ich werde glücklich ,wenn mir jemanden das erklären würden

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Darstellungsmatrix \(A\) müssen wir uns überlegen, wie die Basis-"Vektoren" abgebildet werden.

$$A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=F(p=1)=1-\alpha\cdot0-\alpha x^2\cdot 0+\frac{1+\alpha}{6}x^3\cdot0$$$$\qquad=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$A\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=F(p=x)=x-\alpha\cdot1-\alpha x^2\cdot 0+\frac{1+\alpha}{6}x^3\cdot0$$$$\qquad=-\alpha\cdot1+1\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3=\begin{pmatrix}-\alpha\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$$$A\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=F(p=x^2)=x^2-\alpha\cdot2x-\alpha x^2\cdot 2+\frac{1+\alpha}{6}x^3\cdot0$$$$\qquad=0\cdot1-2\alpha\cdot x+(1-2\alpha)\cdot x^2+0\cdot x^3=\begin{pmatrix}0\\-2\alpha\\1-2\alpha\\0\end{pmatrix}$$$$A\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=F(p=x^3)=x^3-\alpha\cdot3x^2-\alpha x^2\cdot 6x+\frac{1+\alpha}{6}x^3\cdot6$$$$\qquad=0\cdot1+0\cdot x-3\alpha\cdot x^2+(2-5\alpha)\cdot x^3=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\alpha\\2-5\alpha\end{pmatrix}$$

Damit lautet die gesuchte Darstellungsmatrix:$${_M}(F^{\alpha})_M=A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -\alpha & 0 & 0\\0 & 1 & -2\alpha & 0\\0 & 0 & 1-2\alpha & -3\alpha\\0 & 0 & 0 & 2-5\alpha\end{array}\right)$$