Aufgabe:
Bernoulli-DGL: y' - y = -y^2
Problem/Ansatz:
Leider haben wir dieses Semester einen Prof erwischt, der mit der Online-Lehre nicht klar kommt und sich absolut keine Mühe gibt, sein Fach verständlich zu gestalten (es gab bereits etliche Beschwerden, die allerdings nichts bewirkt haben). Daher stehen wir in Mathe komplett allein da, und müssen alles "ergoogeln".
Ich habe viel mit youtube-Videos von "MathePeter" gearbeitet, der freundlicherweise auch alle meine Fragen in der Kommentarspalte sehr schnell beantworten konnte, die aber natürlich nicht so ausführlich sein konnten (da ich nicht die einzige mit Fragen bin) und ich ihn auch nicht weiter nerven wollte:).
Nun zu meiner Frage, es geht um Bernoulli-DGL... Aktuell bearbeite ich oben genannte Aufgabe (y'-y = -y^2).
Dazu würde ich das Lösungsrezept befolgen:
1) DGL in Form: y'+a(x)*y+b(x)*y^(alpha)=0
2) Substitution: z = y^(1-alpha)
3) z'=(1-alpha)*a(x)*z+(1-alpha)*b(x)
4) Dann DGL mit bekannten Verfahren lösen (TdV/VdK/...)
5) Rücksubstitution
I
I
v
Damit komme ich auf:
1) y'+(-1)*y+(1)*y^2=0, a(x)=-1, b(x)=1
2) z=y^(1-2)=y^(-1)=1/y → y=1/z
3) z'=(1-2)*(-1)*z+(1-2)*1=z-1 → z'=z-1
4) Mit Trennung der Variablen: z=c*e^(x)+1 (Das Ergebnis stimmt, mit Wolfram Alpha nachgeprüft, der Fehler muss also schon davor liegen)
5) Rücksubstitution: Mit y=1/z wird y= 1/(c*e^(x)+1)
Leider stimmt das Ergebnis nicht. Am Ende soll heraus kommen: y=(c*e^x)/((c*e^x)+1).
Wo liegt denn mein Fehler? Oder ist das dasselbe wie "y= 1/(c*e^(x)+1)" nur irgendwie umgeformt? Ich suche schon seit Tagen, aber komme leider nicht drauf :/
Wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
VG!
