a) Du musst zeigen, dass gilt (i) φ(X+Y) = φ(X) + φ(Y) für alle X,Y ∈ V
und (ii) φ(x*Y) = x*φ(Y) für alle x∈ℝ und Y ∈ V.
(i) φ(X+Y) [Def. von φ ]
=A * (X+Y)[Distributivgesetz für Matrizen]
=A * X+ A * Y [Def. von φ ]
= φ(X) + φ(Y).
Ähnlich zeigst du (ii) . Hier hängt es also gar nicht von der
speziellen Matrix A ab.
b) Bestimme die Bilder der "Basisvektoren" [Das sind hier die 4 Matrizen]
und stelle sie als Linearkombination der Basisvektoren dar. Z.B. der erste
φ((1000)) = A *(1000) =(0200)
=0⋅(1000)+0⋅(0010)+2⋅(0100)+0⋅(0001)
Und die Faktoren, die du dafür brauchst bilden die erste Spalte
der gesuchten Matrix. also
0
0
2
0.
Mit φ((0010)) bestimmst du
die 2. Spalte und hast dann schon mal
0 0
0 0
2 0
0 2
bis du die ganze 4x4 Matrix zusammen hast.