Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
Da wir ein beliebiges \(\vec v\) wählen dürfen, nehmen wir \(\vec v=\binom{1}{0}\):
$$\vec v\,'=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
Der Winkel zwischen \(\vec v'\) und \(\vec v\) folgt mit Hilfe des Skalarproduktes:$$\beta=\arccos\left(\frac{\binom{1}{0}\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\left\|\binom{1}{0}\right\|\left|\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right\|}\right)=\arccos\left(\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1^2+0^2}\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}}\right)$$$$\phantom{\beta}=\arccos(\cos\alpha)=\alpha$$
Die Matrix ist eine Rotationsmatrix, die einen Vektor um den Winkel \(\alpha\) (links herum) verdreht.
