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Aufgabe:

Man soll laut Aufgabenstellung zwei Gleise miteinander verbinden und dies "Knickfrei" bedeutet soviel wie an der Berührungsstelle soll der gleiche Funltionswert und die selbe Steigen sein. Modeliert soll diese Funktion mit g(x)=a*x³+b*x²+c*x+d


Grafisch werden mir die Schienen im Koordinatensystem wie folgt vorgegeben:

1. Vom Punkt (-3|1) zu (1|0)

2. Vom Punkt (5|4) zu (8|7)

Wobei die Gleisverbindung zwischen dem Ende vom 1. Gleis und anfang vom 2. Gleis sein soll.


Problem/Ansatz:

Gleiche Steigung bzw. Funktionswert erkennen/rechnen

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Was / wo / wer ist "Marura"?

2 Antworten

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\( \begin{aligned} g(1) &= 0\\ g(5) &= 4\\ g'(1) &= \frac{0-1}{1-(-3)}\\ g'(5) &= \frac{7-4}{8-5} \end{aligned} \)

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Aloha :)

Von der ersten Geraden benötigen wir den Punkt \((1;0)\) und die Steigung:$$m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-1}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}$$Von der zweiten Geraden benötigen wir den Punkt \((5;4)\) und die Steigung:$$m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-4}{8-5}=1$$

Damit können wir 4 Forderungen an die Funktion \(g(x)\) aufstellen:$$g(1)=0\quad;\quad g'(1)=-\frac{1}{4}\quad;\quad g(5)=4\quad;\quad g'(5)=1$$Setzen wir diese Bedingungen in$$g(x)=ax^3+bx^2+cx+d\quad;\quad g'(x)=3ax^2+2bx+c$$ein, so erhalten wir folgendes Gleichungssystem:

$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 2 & 1 & 0\\125 & 25 & 5 & 1\\75 & 10 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1/4\\4\\1\end{pmatrix}$$Seine Lösung lautet:$$a=-\frac{5}{64}\quad;\quad b=\frac{55}{64}\quad;\quad c=-\frac{111}{64}\quad;\quad d=\frac{61}{64}$$und wir erhalten die Funktion:$$g(x)=-\frac{1}{64}\left(5x^3-55x^2+111x-61\right)$$

~plot~ -1/64*(5x^3-55x^2+111x-61)*(x>=1)*(x<=5) ; (-1/4*x+1/4)*(x>=-3)*(x<=1) ; {-3|1} ; {1|0} ; (x-1)*(x>=5)*(x<=8) ; {5|4} ; {8|7} ; [[-4|9|-0,1|8]] ~plot~

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