Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, d.h. die Identitäten

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, d.h. die Identitäten:

\( \begin{array}{l} \sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y) \\ \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \end{array} \)

für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).

Comments

Siehe unter:

https://www.bing.com/videos/search?q=additionstheoreme&docid=608034663764790931&mid=91B46AB7C2C280FD54E891B46AB7C2C280FD54E8&view=detail&FORM=VIRE

Answer 1

Eine Möglichkeit ist die:

Sei y ∈ ℝ.

Dann betrachte für konstantes y die Funktion

f(x)=(sin(x+y) - sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))^2 +(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))^2

und zeige f ' (x) = 0 für alle x∈ℝ .

f ' (x) = 2*(sin(x+y) - sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))*(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))

      +2*(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))*(-sin(x+y)+sin(x)sin(y)+cos(x)sin(y))

wenn du die Klammern auflöst, hebt sich alles gegenseitig auf, also f ' (x) =0

==>  f ist eine konstante Funktion und außerdem f(0)=0 .

Also ist f die Nullfunktion. Da der Term für f aus 2 nicht negativen Summanden besteht,

sind beide gleich 0. Damit hast du beide Add.theoreme auf einmal bewiesen.

Answer 2

Der einfachste Beweis geht über die komplexen Zahlen und zwar, die mit der Länge 1

$$e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)$$$$e^{iy}=cos(y)+i*sin(y)$$$$e^{i(x+y)}=e^{ix}*e^{iy}=$$$$(cos(x)+i*sin(x))*$$$$(cos(y)+i*sin(y))$$$$=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(x)+$$$$i*(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))$$$$=cos(x+y)+i*sin(x+y)$$