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Aufgabe:

Beweisen Sie die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, d.h. die Identitäten:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y) \begin{array}{l} \sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y) \\ \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \end{array}

für alle x,yR x, y \in \mathbb{R} .

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Eine Möglichkeit ist die:

Sei y ∈ ℝ.

Dann betrachte für konstantes y die Funktion

f(x)=(sin(x+y) - sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))2 +(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))2

und zeige f ' (x) = 0 für alle x∈ℝ .

f ' (x) = 2*(sin(x+y) - sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))*(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))

      +2*(cos(x+y)-cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))*(-sin(x+y)+sin(x)sin(y)+cos(x)sin(y))

wenn du die Klammern auflöst, hebt sich alles gegenseitig auf, also f ' (x) =0

==>  f ist eine konstante Funktion und außerdem f(0)=0 .

Also ist f die Nullfunktion. Da der Term für f aus 2 nicht negativen Summanden besteht,

sind beide gleich 0. Damit hast du beide Add.theoreme auf einmal bewiesen.

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Der einfachste Beweis geht über die komplexen Zahlen und zwar, die mit der Länge 1

eix=cos(x)+isin(x)e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)eiy=cos(y)+isin(y)e^{iy}=cos(y)+i*sin(y)ei(x+y)=eixeiy=e^{i(x+y)}=e^{ix}*e^{iy}=(cos(x)+isin(x))(cos(x)+i*sin(x))*(cos(y)+isin(y))(cos(y)+i*sin(y))=cos(x)cos(y)sin(x)sin(x)+=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(x)+i(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))i*(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))=cos(x+y)+isin(x+y)=cos(x+y)+i*sin(x+y)

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