Sinus und Cosinus bestimmen mit Hilfe der additionstheoreme

Question

Bestimmen Sie sin(3/4pi) und cos(7/4pi) mit Hilfe der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus. Hinweis: sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0, sin(3pi/2)=-1


ich verstehe einfach nicht wie das funktionieren soll..

Answer 1

Bestimmen Sie SIN(3/4·pi) und COS(7/4·pi) mit Hilfe der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus. Hinweis: SIN(pi/2) = 1, COS(pi/2) = 0, SIN(3/2·pi) = -1

SIN(pi/4) = √((1 - COS(pi/2))/2) = √((1 - 0)/2) = 1/√2
COS(pi/4) = √((1 + COS(pi/2))/2) = √((1 + 0)/2) = 1/√2

SIN(3/4·pi)
= SIN(pi/2 + pi/4)
= SIN(pi/2)·COS(pi/4) + COS(pi/2)·SIN(pi/4)
= 1·1/√2 + 0·1/√2
= 1/√2

COS(7/4·pi)
= COS(2·pi - pi/4)
= COS(2·pi)·COS(pi/4) + SIN(2·pi)·SIN(pi/4)
= 1·1/√2 + 0·1/√2
= 1/√2

Beim COS(7/4·pi) habe ich mal den SIN(2·pi) und den COS(2·pi) ohne nachweis verwendet. Man hätte aber durchaus auch dieses nur durch die gegebenen Werte herleiten können. Den SIN(3/2·pi) habe ich nicht verwendet weil mir dazu der COS gefehlt hat. Diesen hätte man auch herleiten können. Das kannst du z.B. mal machen.

Comments

Die Formeln zum Halben Winkel kann man sich kurz über die Additionstheoreme herleiten, wenn man diese nicht verwenden darf. Z.B.

COS(a + a) = COS(a)·COS(a) - SIN(a)·SIN(a)

COS(2·a) = COS(a)^2 - SIN(a)^2

COS(2·a) = 1 - SIN(a)^2 - SIN(a)^2

COS(2·a) = 1 - 2·SIN(a)^2

2·SIN(a)^2 = 1 - COS(2·a)

SIN(a)^2 = (1 - COS(2·a)) / 2

SIN(a) = √((1 - COS(2·a)) / 2)

SIN(a/2) = √((1 - COS(a)) / 2)