Urbild eines Vektors bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine lineare Abbildung \( \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch \( f: x \mapsto\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right) \cdot x \)

Geben Sie ein Urbild \( u \in \mathbb{R}^{3} \) des Vektors \( \left(\begin{array}{c}-6 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) unter der Abbildung \( f \) an. Brüche notieren Sie in der Form "-14/3".

Answer 1

Die Gleichung

[2, 4, 0; -2, 2, -1; 1, 2, 0]·[a; b; c] = [-6; 1; -3]

ergibt das Gleichungssystem

2a + 4b = -6
-2a + 2b - c = 1
a + 2b = -3

Die erste Gleichung kann ich eigentlich vergessen weil sie nur das doppelte der dritten Gleichung ist

a + 2b = -3
-2a + 2b - c = 1

Es geht jetzt darum dieses Gleichungssystem zu lösen

a + 2b = -3 → a = -3 - 2b
-2(-3 - 2b) + 2b - c = 1 --> c = 6b + 5

Also kannst du dir b frei auswählen und damit auch a und c bestimmen.

Für b = 0 erhältst du also a = -3 und c = 5

Answer 2

Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix}2 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\1\\-3\end{pmatrix}\)

Comments

Also:

2+3+0=-6 | /2

-2+2-1=1

1+2+0=-3

__________

1+2+0=-3

-2+2-1=1
1+2+0=-3

erste und 3 sind gleich eine wird genullt es bleiben nurnoch 2

1+2+0=-3 |*2

-2+2-1=1     +

_______________

1+2+0=-3

0+6-1=-5

es ist also für

x = -3-2y

y=y

z=5+6y

---

Wenn das die richtige Lösung wäre, müsste

\(\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}-3-2y \\y \\5+6y\end{array}\right) \)=\( \left(\begin{array}{c}-6 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) gelten.