Question

Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung für alle x1, x2 ∈R die beiden Ungleichungen

|cosx₂−cosx₁ |≤| x₂−x₁|

|cos²x₂−cos²x₁ |≤| x₂−x₁|

Kenne natürlich den Mittelwertsatz, aber habe keine Ahnung, wie ich den hier anwenden soll. Ich bitte um einzelne Rechenschritte zum nachvollziehen.

Answer 1

Hallo,

ich mache mal $|\cos(x_2)-\cos(x_1)|\leq |x_2-x_1|$. Du kannst das andere dann selbst probieren - wenn es Fragen gibt, einfach als Kommentar nachreichen.

Also, ich wähle $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ und nehme o. B. d. A. an, dass $x_1<x_2$. Weiter definiere ich $h(t)=\cos(t)$ als Hilfsfunktion,die unendlich oft stetig differenzierbar in $\mathbb{R}$ und damit insbesondere in $[x_1,x_2]$ stetig und in $(x_1,x_2)$ differenzierbar ist. Nach dem Mittelwertsatz exisitiert nun ein $\xi \in (x_1,x_2)$, so dass:$$f'(\xi)=-\sin(\xi)=\frac{\cos(x_2)-\cos(x_1)}{x_2-x_1}$$ Wendest du nun den Betrag auf beiden Seiten an und weißt, dass $|-\sin(t)|\leq 1$ ist, so hast du die Frage durch Multiplikation mit $|x_2-x_1|$ beantwortet.

Für den zweiten Teil würde ich mich an $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ erinnern. (3. Binomische Formel)

Comments

Irgendwie versteh ich noch nicht ganz, wie es funktioniert..

Wie wählt man die Hilfsfunktion? Würde man da beim 2. Aufgabenteil auch cos(t) nehmen?

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Bei a²-b²=(a+b)(a-b)

würde mich die Verbindung zum Mittelwertsatz schon interessieren. Ich sehe sie leider nicht , dafür kann ich a² ableiten. Und auch cos²(x)ist machbar.

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Wie wählt man die Hilfsfunktion? Würde man da beim 2. Aufgabenteil auch cos(t) nehmen?

Nein $h(t)=\cos^2(t)$.

Irgendwie versteh ich noch nicht ganz, wie es funktioniert.

Es ist schwierig, darauf zu antworten. Was stört dich denn konkret? Wenn die Antwort "Alles" lauten sollte, würde ich dir empfehlen, vorerst etwas zum Mittelwertsatz zu recherchieren.

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würde mich die Verbindung zum Mittelwertsatz schon interessieren. Ich sehe sie leider nicht , dafür kann ich a2 ableiten. Und auch cos2(x)ist machbar.

Nevermind, ich dachte, dass man Aufgabenteil (1) für den zweiten ausnutzen könnte. Aber das geht doch nicht so leicht, wie gedacht. VG.

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Ich denke, dass man Aufgabenteil nutzt, indem man bei Aufgabe b) genau das nacht, wie bei a) den Differenzenquotienten hinschreiben und dann den Differentialquotienten der dazu gehörenden Funktion lösen.

Answer 2

Was sagt den der Mittelwertsatz?

Er sagt, dass es zwischen a und b immer einen Punkt c gibt, so dass

$$f'(c)=( f(a)-f(b))/(a-b)$$

$$\frac{|cos(x_2)-cos(x_1)|}{|x_2-x_1|} =| \frac{cos(x_2)-cos(x_1)}{x_2-x_1} |=|-sin(x_3)|≤1= |\frac{x_2-x_1}{x_2-x_1} |=\frac{|x_2-x_1|}{|x_2-x_1|}$$

Die zweite Aufgabe entsprechend, rechts steht wieder 1 und links? Die Ableitung von

$$f(x)=(cos (x))^2$$

$$f'(x)=-2*cos(x)*sin (x) =-sin (2x)$$

Comments

Achtung, das war nicht die Aufgabenstellung.

Ich habe aber auch einen 2.Fall berechnet.

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Ich konnte nicht schlafen, nun sollte es stimmen, obwohl sich ja kaum was geändert hat.