Welcher orientierte Flächeninhalt ist größer?

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zu Ober- und Untersummen einer auf I negativen Funktion f.

Das Integral (vgl. Abbildung) auf dem Intervall [0;4] ist ja in jedem Fall negativ. Deshalb sind sowohl OBer- als auch Untersumme negativ (abgebildet ist hier die Untersumme).

Ferner gilt: Untersumme ≤ Integral ≤ Obersumme.

Nun zu meiner Frage: Seien A und A1 orientierte Flächeninhalte. Dann gilt doch immer: Wenn A > A1 ist A die größere orientierte Fläche? Als Beispiel wäre demnach eine orientierte Fläche A=-1 größer! als A1=-2 , obwohl der Graph mit dem orientierten Flächeninhalt A1 ja augenscheinlich mehr Fläche einschließt ?

Answer 1

Ja mathematisch hast du denke ich recht.

Eine orientierte Fläche von -1 ist großer als eine orientierte Fläche als -2.

Ein Geldwert von -1 ist ja auch größer als ein Geldwert von -2.

Trotzdem ist es fraglich ob man orientierte Flächen so vergleichen sollte. Das kommt wohl auf den Zusammenhang an. Ich würde eher die Absoluten Flächen vergleichen.

Comments

m.E. macht es nur so Sinn, wenn die "orientierte Fläche" der Untersumme kleiner gleich der orientierten Fläche sein soll, welche von der Funktion und der x-Achse eingeschlossen ist.

Trotzdem ist es fraglich ob man orientierte Flächen so vergleichen sollte. Das kommt wohl auf den Zusammenhang an. Ich würde eher die Absoluten Flächen vergleichen.

Wenn man sich Unter- und Obersummen anschaut und verwendet, dass U≤ Integral ≤ Obersumme ist, muss man es doch so interpretieren?

Denn die absolute Fläche der Untersumme ist ja bei einer negativen Funktion f größer als die absolute Fläche des Integrals?

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Ja wenn du es in

Untersumme ≤ Integral ≤ Obersumme

dann musst du es so interpretieren. Die Untersumme ist halt eine untere Schranke und die Obersumme eine obere Schranke.

Wenn du die tatsächlichen (absoluten) Flächen vergleichen möchtest, dann musst du die Beträge vergleichen. Und dann erhältst du das die Obersumme hier die absolut gesehen kleinere Fläche bildet.

Hier ein Bild von Geogebra mit eingezeichneter Unter und Obersumme