Summenformel für Obersumme

Question

Ist die Summenformel für die Obersumme allgemein so richtig?

Comments

Wie würde sich die Summenformel ändern, wenn das Intervall I(1;3) ist?

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Hier stand Unsinn

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Die Stützstellen ändern sich auch.

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Du hast recht. Ich ziehe die falsche Antwort zurück.

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f(x) = x²  über  I = [ 1 ; 3 ]   

f ist streng monoton steigend und stetig.   

\( O_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac { 2 }{ n } · (1+k·\frac { 2 }{ n })^2\)

Answer 1

Ist die Summenformel für die Obersumme allgemein so richtig?

Nein, die ist voellig falsch:

- Wenn man [a, b] in n Teile zerlegt, kann die Obersumme nicht n+1 Summanden haben. Es duerfen nur n sein.

- Die Teilintervalle beginnen bei a, nicht bei 0.

- Als Funktionswert wird in jedem Teilintervall der groesstmoegliche ausgewaehlt, nicht der am oberen oder unteren Ende.

Richtig geht es so:

Setze \(h=(b-a)/n\) und \(M_i=\max\{f(x)\mid a+(i-1)h\le x\le a+ih\}\). Dann ist $$O_n=\sum_{i=1}^n M_ih$$ die Obersumme. Und mit \(m_i=\min\{f(x)\mid a+(i-1)h\le x\le a+ih\}\) ist entsprechend $$U_n=\sum_{i=1}^n m_ih$$ die Untersumme.

Answer 2

f(x) = x2  über  I = [ 1 ; 3 ]   

f ist streng monoton steigend und stetig.   

\( O_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac { 2 }{ n } · (1+k·\frac { 2 }{ n })^2\)

          =  \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac { 2 }{ n } ·(1+k·\frac { 4 }{ n }+k^2·\frac { 4 }{ n^2 }) \)
          =  \(\frac { 2 }{ n }· \sum\limits_{k=1}^{n} 1+ \frac { 8 }{ n^2 } · \sum\limits_{k=1}^{n} k+\frac { 8 }{ n^3 } ·  \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \)

Mit Hilfe der Summenformeln

  http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

ergibt sich:

\(O_n=  \frac { 2 }{ n } ·n+ \frac { 8 }{ n^2 } · \frac { n }{ 2 } ·(n+1)+ \frac { 8 }{ n^3 } · \frac { n }{ 6} ·(n+1)·(2n+1)\)

      \( = \frac { 8 }{ n } +  \frac { 4 }{ 3n^2 } +  \frac { 26 }{ 3 }  \)              $$\lim_{n \to ∞} O_n =  \frac { 26 }{ 3 } $$
Gruß Wolfgang