Man gebe einen Nullteiler von ℚ[x]/(H) an. | Zeigen Sie, dass I ein Ideal von ℚ[x] ist.

Question

Gegeben sind der Polynomring ℚ[x], das Polynom H = x⁴ - 4 ∈ Q[x] sowie die Menge I = {P ∈ ℚ[x] | P(0) = P'(0) = 0}. (H) sei das von H erzeugte Hauptideal.

a) Man gebe einen Nullteiler von ℚ[x]/(H) an.
b) Zeigen Sie, dass I ein Ideal von ℚ[x] ist.

Hänge bei dieser Aufgabe leider fest und würde mich tierisch über ein paar Hinweise bzw. Antworten von euch freuen ;)))

Answer 1

a)  ((x^2-2) +H) * ( (x^2 +2)+H) = (x^2-2)(x^2+2)+H = (x^4-4)+H = H

und das ist die 0 von ℚ[x]/(H).

b)  Du musst nur zeigen, dass die Summe zweier Elemente

von I wieder in I ist.

Sind also P und Q aus I dann gilt

P(0)=0 und Q(0)=0 und P ' (0)=0 und Q ' (0) = 0

also auch (P+Q)(0) = 0 und (P+Q) ' (0) = P '(0) + Q ' (0) = 0.

UND:  Wenn P aus I und Q aus ℚ[x] dann P*Q ∈ I.

Also zu zeigen (P*Q)(0) = 0  und (P*Q) ' (0) = 0

Das stimmt; denn (P*Q)(0)= P(0) * Q(0) = 0*Q(0) = 0

und (P*Q) ' (0) = P(0)*Q'(0) + P '(0) * Q(0) =  0*Q'(0) + 0 * Q(0) = 0.