Körper mit Matrixaddition und -multiplikation, Isomorphismen

Question

Wie mache ich folgende Aufgabe?

Sei
$$ C:=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2 \times 2} $$

Zeigen Sie:
a) \( C \) mit der Matrixaddition und -multiplikation ist ein Körper.
b) In \( C \) ist die Gleichung \( X^{2}+1=0 \) lösbar.
c) \( C \) ist als Körper isomorph zu den komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \).

Hinweis: Zwei Körper \( K \) und \( L \) heißen isomorph zueinander, falls es eine Abbildung \( f: K \rightarrow L \) gibt, die gleichzeitig Gruppenisomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation ist.

Vielen Dank schon mal für die Antworten!

Answer 1

Für "Körper" musst du die Körperaxiome prüfen:

additive Gruppe hattet ihr vermutlich schon für alle Matrizen gezeigt.

multiplikativ: Abgeschlossenheit und assoziativ ist wohl klar.

neutrales El ist ist die Einheitsmatrix, also a=1 und b=0 und

multiplikative inverse gibt es auch:

Inverse zu $$\begin{pmatrix} a & -b \\b & a\end{pmatrix}$$ ist

$$ \frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a & b \\-b & a\end{pmatrix}$$

Distributivgesetze gelten ja bei Matrizen auch immer.

Und X^2 + 1 = 0 hat als Lösung

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1& 0\end{pmatrix}$$

Und ein Isomorphismus ist

$$\begin{pmatrix} a & -b \\b & a\end{pmatrix} → a+bi$$

Comments

Schonmal vielen dank, sehr hilfreich! Aber wie zeige ich den Isomorphismus des Körpers und der komplexen Zahlen?

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Zeige mal erst : Homomorphismus, also

Linearität. Dazu für zwei Matrizen A und B aus C

f(A+B) = f(A) + f(B)  und f(A*B) = f(A)*f(B)

Dazu nimmst du z.B.

$$A=\begin{pmatrix} a& -b \\b& a\end{pmatrix}und B=\begin{pmatrix} c& -d\\d& c\end{pmatrix}$$  

und setzt alles ein .

Und injektiv ist es, weil aus a+bi = c+di

folgt a=c und b=d also auch A=B

und surjektiv, weil für a+bi

Die Matrix A eine ist mit f(A)=a+bi.

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Ah, perfekt, vielen Dank!