Hallo Melina,
Willkommen in der Mathelounge!
Wie finde ich eine lineare Abbildung die v1 auf w1 abbildet?
Eine lineare Abbildung ist z.B. eine Matrixmultiplikation der Art$$w_1 = A \cdot v_1$$ Die Matrix \(A\) besteht aus vier Zeilenvektoren:$$A = \begin{pmatrix} l_1^T \\ l_2^T\\ l_3^T\\ l_4^T\end{pmatrix}$$und um obige Gleichung zu erfüllen gilt folglich$$0 = l_1^T \cdot v_1 \\ 0 = l_2^T \cdot v_1 \\ 1 = l_3^T \cdot v_1\\ 0 = l_4^T \cdot v_1$$Nun kann man sich Vektoren \(l_i\) ausdenken, die obige vier Gleichungen erfüllen. Beginne mal mit \(1 = l_3^T \cdot v_1\) - geht z.B. so$$1 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$Für die drei anderen benötigt man nun Vektoren, die senkrecht auf \(v_1\) stehen. Im einfachsten Fall vertauscht man zwei der vier Koordinaten und negiert eine der beiden. Die anderen Koordinaten setzt man zu \(0\) - zum Beispiel:$$0 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$Du kannst Dir nun noch andere ausdenken, oder überall den gleichen Vektor nehmen.
Somit wäre auch $$f: \quad w_1 = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\\ 0& 0& 4& -3\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& -3\end{pmatrix} \cdot v_1$$eine Lösung.
Gruß Werner
