Aloha :)
Das Kreuz-Produkt und die Determinante sind eng miteinander verwandt. Wir entwickeln die folgende Determinante rein formal nach der ersten Zeile:
$$\begin{vmatrix}\vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3\\x_1 & x_2 & x_3\\y_1 & y_2 & y_3\end{vmatrix}=\vec e_1\begin{vmatrix}x_2 & x_3\\y_2 & y_3\end{vmatrix}-\vec e_2\begin{vmatrix}x_1 & x_3\\y_1 & y_3\end{vmatrix}+\vec e_3\begin{vmatrix}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{vmatrix}$$Das kannst du nun also Vektor schreiben und die \(2\times2\)-Determinanten ausrechnen:
$$=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}x_2 & x_3\\y_2 & y_3\end{vmatrix}\\[2ex]-\begin{vmatrix}x_1 & x_3\\y_1 & y_3\end{vmatrix}\\[2ex]\begin{vmatrix}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{vmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2y_3-y_2x_3\\-(x_1y_3-y_1x_3)\\x_1y_2-y_1x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}=\vec x\times\vec y$$
Du kannst das Kreuz-Produkt alsi mit Hilfe einer Determinante ausrechnen.
