Wie kommt man auf diese Umformung?

Question

wisst ihr vielleicht, wie man für zwei unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen auf diese Umformung kommt?:

$$P(X_1+X_2 = m)= (PX_1 * PX_2)(m)=\sum \limits_{k=1}^{n}P(X_1=k)P(X_2=m-k)$$

Die erste Umformung verstehe ich, aber den Teil mit dem Summenzeichen nicht mehr?

Wisst ihr vielleicht weiter?

Answer 1

Die Summe m wird in folgenden Fällen angenommen:

X1 hat den Wert 1 und X2 hat den Wert m-1

X1 hat den Wert 2 und X2 hat den Wert m-2

X1 hat den Wert 3 und X2 hat den Wert m-3

...

X1 hat den Wert m-1 und X2 hat den Wert 1

Es müssen nun die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle addiert werden, daher die Summe.

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

Aber wie kommt man für X1 auf m-1, die summe läuft doch bis m?

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Abgesehen davon, dass du selbst sie bis n hast laufen lassen: Da müsste sie je eigentlich auch schon bei 0 starten.

Von wo bis wo die Summe nun tatsächlich geht hängt vom Wertevorrat ab, den die beiden Zufallsvariablen haben. Und sollte man versehentlich zu weit (also unter Verwendung nicht existierender Werte) summiert haben ist das auch nicht schlimm: Die Wahrscheinlichkeit eines nicht existierenden Wertes ist sowieso 0.

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Okay, vielen dank, abakus:)

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sorry dass ich nochmal was nachfrage, ich dachte eigentlich mittlerweile wäre alles klar, aber weißt du vielleicht noch, wie man dann noch auf diese Umformung kommt?
$$\sum \limits_{k=1}^{n}P(X_1=k)P(X_2=m-k)=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{1}{n}\mathbb{1}_{(1,...,n)}(m-k)$$