Wurzelkriterium: je nach geradem oder ungeradem n ist ja
\( \sqrt[n]{a_n} =\frac{1}{2}\) oder \( \sqrt[n]{a_n} =\frac{1}{3}\) also
jedenfalls für alle n ∈ℕ gilt \( \sqrt[n]{a_n} \leq \frac{1}{2} < 1\)
Also Reihe konvergent.
Beim Quotientenkriterium erkennt man nur: Weder ist der Quotient
von einer Stelle an immer kleiner 1 noch immer größer oder gleich 1,
also ist hiermit keine Aussage möglich.
"Normal" wäre hier das Majorantenkriterium: Die geom. Reihe
mit q=1/2 ist eine konvergente Majorante. Für die Summe
teilt man am besten auf.
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n=\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{2k}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}$$
Die betrachten wir einzeln (Konvergenz ist ja gesichert.)
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{2k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3} $$
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{2k-1}=3 \cdot\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{2k}$$$$=3 \cdot\sum \limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^{k}=3 \cdot(-1+\frac{1}{1-\frac{1}{9}})=3 \cdot(-1+\frac{9}{8})=\frac{3}{8} $$
Insgesamt also 1/3 + 3/8 = 17/24
