Inversen Berechnung bei Gruppen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für Elemente g₁... g_n einer Gruppe G gilt:

(g_n^-1...g₁^-1) = (g_1... g_n)^-1

Problem/Ansatz:

Ist es richtig dass ich es so beweisen kann? :

(g_n^-1...g₁^-1) (g₁...g_n) = (g₁^-1...g_n-1^-1)(g_n^-1g_n)(g_n-1 ...g₁) = (g₁^-1...g_n-1^-1)e(g_n-1...g₁) = ......= e

Dann noch einmal andersherum also:

(g₁...g_n)(g_n^-1...g₁^-1) =....= e

Also ist das Inverse von (g₁..g_n) gleich  (g_n^-1...g₁^-1)

Answer 1

Aloha :)

Das Inverse zu \((a\cdot b)\) sei \(x=(a\cdot b)^{-1}\) und \(1\) sei das neutrale Element, dann gilt:$$\left.x\cdot(a\cdot b)=1\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot b=1\quad\right|\;\cdot b^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((x\cdot a)\cdot b)\cdot b^{-1}=b^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot (b\cdot b^{-1})=b^{-1}\quad\right|\;(b\cdot b^{-1})=1$$$$\left.(x\cdot a)\cdot1=b^{-1}\quad\right|\text{Multiplikation mit dem neutralen Element ändert Wert nicht}$$$$\left.x\cdot a=b^{-1}\quad\right|\;\cdot a^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot a^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.x\cdot (a\cdot a^{-1})=b^{-1}\cdot a^{-1}\quad\right|\;(a\cdot a^{-1})=1$$$$x=b^{-1}\cdot a^{-1}$$Wegen \(x=(a\cdot b)^{-1}\) haben wir also gefunden:$$(a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$$Wiederholte Anwendung liefert die Behauptung.