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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für Elemente g1... gn einer Gruppe G gilt:


(gn-1...g1-1) = (g1... gn)-1


Problem/Ansatz:

Ist es richtig dass ich es so beweisen kann? :

(gn-1...g1-1) (g1...gn) = (g1-1...gn-1-1)(gn-1gn)(gn-1 ...g1) = (g1-1...gn-1-1)e(gn-1...g1) = ......= e

Dann noch einmal andersherum also:

(g1...gn)(gn-1...g1-1) =....= e

Also ist das Inverse von (g1..gn) gleich  (gn-1...g1-1)

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Aloha :)

Das Inverse zu \((a\cdot b)\) sei \(x=(a\cdot b)^{-1}\) und \(1\) sei das neutrale Element, dann gilt:$$\left.x\cdot(a\cdot b)=1\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot b=1\quad\right|\;\cdot b^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((x\cdot a)\cdot b)\cdot b^{-1}=b^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot (b\cdot b^{-1})=b^{-1}\quad\right|\;(b\cdot b^{-1})=1$$$$\left.(x\cdot a)\cdot1=b^{-1}\quad\right|\text{Multiplikation mit dem neutralen Element ändert Wert nicht}$$$$\left.x\cdot a=b^{-1}\quad\right|\;\cdot a^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(x\cdot a)\cdot a^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.x\cdot (a\cdot a^{-1})=b^{-1}\cdot a^{-1}\quad\right|\;(a\cdot a^{-1})=1$$$$x=b^{-1}\cdot a^{-1}$$Wegen \(x=(a\cdot b)^{-1}\) haben wir also gefunden:$$(a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$$Wiederholte Anwendung liefert die Behauptung.

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Gefragt 3 Okt 2021 von V.R.
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