Zinseszinsen? Welches Kapital?

Question

Welches Kapital gibt, zuerst 10 Jahre zu 4,25%, dann 3 Jahre zu 4% jährlich dekursiv verzinst, €705,54 Zinseszinsen?

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Lass mich raten. Du kommst aus Österreich?

Answer 1

Nun, dekursive Verzinsung bedeutet nichts weiter, als dass die Zinsen dem Kapital am Ende einer Zinsperiode zugeschlagen werden. Es handelt sich also um die "ganz normale" Verzinsung, für die gilt:

K_n = K₀ * ( 1 + i  ) ⁿ

K₀ : Anfangskapital
i : Zinssatz ( bei z.B. 5 % Zinsen ist i = 0,05)
n : Anzahl der Zinsperioden
K_n : Kapital nach n Zinsperioden

Damit erhält man mit den Angaben der Aufgabenstellung:

K₁₀ = K₀ * 1,0425 ¹⁰
K ₁₃ = K₁₀ * 1,04 ³

Setzt man hier K₁₀ ein, so erhält man:

K₁₃ = K₀ * 1,0425 ¹⁰ * 1,04 ³

Die Zinseszinsen sind die Differenz von K ₁₃ und K₀ und betragen 705,54 Euro, also:

K₁₃ - K₀= 705,54

Somit muss die Gleichung:

K₁₃ - K₀ = K₀ * 1,0425 ¹⁰ * 1,04 ³ - K₀ = 705,54

nach K₀ aufgelöst werden.
Zunächst K₀ ausklammern:

<=>  K₀ * ( 1,0425 ¹⁰ * 1,04 ³ - 1 ) = 705,54

<=> K₀ = 705,54 / ( 1,0425 ¹⁰ * 1,04 ³ - 1 )

<=> K₀ = 1000,01 Euro

(vermutlich sollte genau 1000 Euro herauskommen)