Zeigen Sie, dass der Grenzwert rational

Question

Aufgabe: Welcher Grenzwertprozess wird durch einen periodischen Dezimalbruch beschrieben ?

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei a) und b) helfen, irgendwie komme ich dort nicht weiter :/

Text erkannt:

Aufgabe 8 ( 7 Punkte). Es sei $a \in(0,1)$ ein periodischer Dezimalbruch. Der Dezimal-
bruch $a$ kann dann als Summe eines nicht-periodischen Anteils $a_{1}$ und eines periodischen
Anteils $a_{2}$ geschrieben werden, d.h.
$$\begin{array}{l}a=a_{1}+a_{2}, a_{1}, a_{2} \in[0,1), \\ a_{1}=0 . a_{1}^{(1)} a_{1}^{(2)} \ldots a_{1}^{(n)}, a_{1}^{(k)} \in\{0,1, \ldots, 9\} \forall k=1, \ldots, n \\ a_{2}=0 . a_{2}^{(1)} a_{2}^{(2)} \ldots a_{2}^{(m)} \cdot 10^{-n}, a_{2}^{(k)} \in\{0,1, \ldots, 9\} \forall k=1, \ldots, m\end{array}$$
(b) Zeigen Sie, dass der Grenzwert rational, d.h. $a \in \mathbb{Q}$, ist.

Answer 1

Vielleicht hilft die Verdeutlichung der Idee an einem Beispiel:

Du kannst jede periodische Dezimalzahl so umformen, dass nur rationale Zahlen

und eine periodische Zahl vorkommen, bei der die Periode sofort hinter dem

Komma beginnt:

$$3,24\overline{57}=3,24+0,00\overline{57}= 3,24+0,00\overline{57}= 3,24+10^{-2}\cdot 0,\overline{57}$$

Und der periodische Teil ist auch rational, weil du eine geometrische Reihe

daraus machen kannst, bei der das q eine Zehnerpotenz ist, also ist deren

Grenzwert rational, etwa so:

$$0,\overline{57}= 57 \cdot ( 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + ..... )$$

$$=57 \cdot \sum \limits_{n=1}^{\infty}0,01^n = 57 \cdot (\frac{1}{1-0,01}-1)$$

Das musst du nun alles schön allgemein formulieren.

Answer 2

a und a₁ wie in der Aufgabe. Außerdem: n=Anzahl der Ziffern im nichtperiodischen Teil. k=Anzahl der Ziffern in der Periode. p=alle Ziffern der Periode als Zahl geschrieben. Dann kann ich schreiben.

     a=                    $\frac{a_1}{10^n}$ + $\frac{p}{10^{n+k}}$ +  $\frac{p}{10^{n+2k}}$ + ...

10^k·a =    $\frac{10^k}{10^n}$·a₁ + $\frac{p}{10^n}$ + $\frac{p}{10^{k+k}}$ + ...

10^k·a-a=  $\frac{10^k}{10^n}$·a₁+$\frac{p-a_1}{10^n}$

(10^k-1)·a=$\frac{10^k}{10^n}$·a₁+$\frac{p-a_1}{10^n}$.

Der Faktor vor a ist rational, die Summe rechts ist rational. Also ist auch a rational.