Zeigen Sie, dass der Grenzwert rational

Question

Aufgabe: Welcher Grenzwertprozess wird durch einen periodischen Dezimalbruch beschrieben ?

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei a) und b) helfen, irgendwie komme ich dort nicht weiter :/

Text erkannt:

Aufgabe 8 ( 7 Punkte). Es sei \( a \in(0,1) \) ein periodischer Dezimalbruch. Der Dezimal-
bruch \( a \) kann dann als Summe eines nicht-periodischen Anteils \( a_{1} \) und eines periodischen
Anteils \( a_{2} \) geschrieben werden, d.h.
$$ \begin{array}{l}a=a_{1}+a_{2}, a_{1}, a_{2} \in[0,1), \\ a_{1}=0 . a_{1}^{(1)} a_{1}^{(2)} \ldots a_{1}^{(n)}, a_{1}^{(k)} \in\{0,1, \ldots, 9\} \forall k=1, \ldots, n \\ a_{2}=0 . a_{2}^{(1)} a_{2}^{(2)} \ldots a_{2}^{(m)} \cdot 10^{-n}, a_{2}^{(k)} \in\{0,1, \ldots, 9\} \forall k=1, \ldots, m\end{array} $$
(b) Zeigen Sie, dass der Grenzwert rational, d.h. \( a \in \mathbb{Q} \), ist.

Answer 1

Vielleicht hilft die Verdeutlichung der Idee an einem Beispiel:

Du kannst jede periodische Dezimalzahl so umformen, dass nur rationale Zahlen

und eine periodische Zahl vorkommen, bei der die Periode sofort hinter dem

Komma beginnt:

$$3,24\overline{57}=3,24+0,00\overline{57}= 3,24+0,00\overline{57}= 3,24+10^{-2}\cdot 0,\overline{57}$$

Und der periodische Teil ist auch rational, weil du eine geometrische Reihe

daraus machen kannst, bei der das q eine Zehnerpotenz ist, also ist deren

Grenzwert rational, etwa so:

$$ 0,\overline{57}= 57 \cdot ( 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + ..... ) $$

$$=57 \cdot \sum \limits_{n=1}^{\infty}0,01^n = 57 \cdot (\frac{1}{1-0,01}-1) $$

Das musst du nun alles schön allgemein formulieren.

Answer 2

a und a₁ wie in der Aufgabe. Außerdem: n=Anzahl der Ziffern im nichtperiodischen Teil. k=Anzahl der Ziffern in der Periode. p=alle Ziffern der Periode als Zahl geschrieben. Dann kann ich schreiben.

     a=                    \( \frac{a_1}{10^n} \) + \( \frac{p}{10^{n+k}} \) +  \( \frac{p}{10^{n+2k}} \) + ...

10^k·a =    \( \frac{10^k}{10^n} \)·a₁ + \( \frac{p}{10^n} \) + \( \frac{p}{10^{k+k}} \) + ...

10^k·a-a=  \( \frac{10^k}{10^n} \)·a₁+\( \frac{p-a_1}{10^n} \)

(10^k-1)·a=\( \frac{10^k}{10^n} \)·a₁+\( \frac{p-a_1}{10^n} \).

Der Faktor vor a ist rational, die Summe rechts ist rational. Also ist auch a rational.