Untersuchung auf Konvergenz!

Question

ich hänge bei den beiden Aufgaben und komme nicht weiter!

Untersuchung auf Konvergenz

a) a_n=(3/10)^n, ε=0,001

b) a_n=(1-n)/n^2, ε=0,01

Die Grenzwerte habe ich für beide berechnet, jedoch komme ich nicht darauf, ab welchem n die Folge innerhalb der Epsilon-Umgebung liegt.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen!

Vielen Dank!

Answer 1

Betrachte den Ansatz \(|a_n-g|<\varepsilon\), wobei \(g\) der Grenzwert von \(a_n\) ist. Jetzt setze einfachmal alles ein und löse nach \(n\) auf. Das ganze ist aber nur dann sinnvoll, wenn du nachweisen kannst, dass deine beiden Folgen konvergieren, bzw. du konntest zeigen:

$$ \forall \ \varepsilon>0 \ \exists \ N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\ \forall n\geq N_{\varepsilon}: |a_n-g|<\varepsilon $$. Dann wirst du auch die Ungleichung lösen können.

Comments

Genau das Auflösen nach n ist mein Problem ;-)

---

Naja beispielsweise hast du bei a) \(\left |\left(\frac{3}{10}\right)^n-g\right|<0.001\). Was ist dein Grenzwert g?

---

Grenzwert ist 0

---

Richtig. Dann schreibe mal mit dieser Information den Ausdruck vereinfachter hin.

---

(\( \frac{3}{10} \))\( ^{n} \) < 0,001 

---

Das sieht schonmal gut aus. Welche Umkehroperation bietet sich denn hier an, um an das \(n\) heranzukommen?

---

n-te Wurzel ziehen

---

Kann man machen, würde ich aber nicht.

---

logarithmieren?

---

Genau! Welcher Logarithmus bietet sich denn hier besonders günstig an?

---

Der Zehnerlogarithmus

---

Das würde ich auch sagen. Und welches \(n\in \mathbb{N}\) musst du dann nehmen wenn du deine Lösung nach der Variablen n aufgelöst betrachtest?

---

Sorry ich check's gerade nicht

---

Du sollst ja am Ende eine natürliche Zahl angeben.

---

Das bringt mich gerade leider nicht weiter, zudem wir bei den Aufgaben keinen TR benutzen dürfen

---

Was ist denn zunächst dein Ergebnis nach n aufgelöst?

---

n*ln(3/10)=ln(1/1000)

n = ln(0,001)/ln(3/10)

---

Hier benutzt du aber die Schreibweise des natürlichen Logarithmuses. Außerdem hast du hier eine Ungleichung.

Es muss eher lauten:

\(n\cdot \log_{10}\left(\frac{3}{10}\right)<\log_{10}(0.001)\), bzw

mit den Logarithmusgesetzen

\(n\cdot \big(\log_{10}(3)-\log_{10}(10)\big)<\log_{10}(0.001)\). Vereinfache jetzt du mal weiter.

---

n*(log₁₀ (3) - 1) < -3

n*((log₁₀ (3)) < -2

---

Ok, wie kannst du es weiter vereinfachen?

---

Nein, sorry. Deine zweite Zeile ist falsch.

---

weiter komme ich nicht

---

Du solltest dich mal mit Lösen von Ungleichungen beschäftigen.

---

muss die 2. zeile

n*((log10 (3)) < -3+n

heißen?

---

Das stimmt zwar, aber du willst n haben. Bedenke dass \(\log_{10}(1)=0<\log_{10}(3)<1=\log_{10}(10)\) gilt.