Untersuchung auf Konvergenz!

Question

ich hänge bei den beiden Aufgaben und komme nicht weiter!

Untersuchung auf Konvergenz

a) a_n=(3/10)ⁿ, ε=0,001

b) a_n=(1-n)/n², ε=0,01

Die Grenzwerte habe ich für beide berechnet, jedoch komme ich nicht darauf, ab welchem n die Folge innerhalb der Epsilon-Umgebung liegt.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen!

Vielen Dank!

Answer 1

Betrachte den Ansatz $|a_n-g|<\varepsilon$, wobei $g$ der Grenzwert von $a_n$ ist. Jetzt setze einfachmal alles ein und löse nach $n$ auf. Das ganze ist aber nur dann sinnvoll, wenn du nachweisen kannst, dass deine beiden Folgen konvergieren, bzw. du konntest zeigen:

$$\forall \ \varepsilon>0 \ \exists \ N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\ \forall n\geq N_{\varepsilon}: |a_n-g|<\varepsilon$$. Dann wirst du auch die Ungleichung lösen können.

Comments

Genau das Auflösen nach n ist mein Problem ;-)

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Naja beispielsweise hast du bei a) $\left |\left(\frac{3}{10}\right)^n-g\right|<0.001$. Was ist dein Grenzwert g?

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Grenzwert ist 0

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Richtig. Dann schreibe mal mit dieser Information den Ausdruck vereinfachter hin.

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($\frac{3}{10}$)$^{n}$ < 0,001 

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Das sieht schonmal gut aus. Welche Umkehroperation bietet sich denn hier an, um an das $n$ heranzukommen?

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n-te Wurzel ziehen

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Kann man machen, würde ich aber nicht.

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logarithmieren?

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Genau! Welcher Logarithmus bietet sich denn hier besonders günstig an?

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Der Zehnerlogarithmus

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Das würde ich auch sagen. Und welches $n\in \mathbb{N}$ musst du dann nehmen wenn du deine Lösung nach der Variablen n aufgelöst betrachtest?

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Sorry ich check's gerade nicht

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Du sollst ja am Ende eine natürliche Zahl angeben.

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Das bringt mich gerade leider nicht weiter, zudem wir bei den Aufgaben keinen TR benutzen dürfen

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Was ist denn zunächst dein Ergebnis nach n aufgelöst?

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n*ln(3/10)=ln(1/1000)

n = ln(0,001)/ln(3/10)

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Hier benutzt du aber die Schreibweise des natürlichen Logarithmuses. Außerdem hast du hier eine Ungleichung.

Es muss eher lauten:

$n\cdot \log_{10}\left(\frac{3}{10}\right)<\log_{10}(0.001)$, bzw

mit den Logarithmusgesetzen

$n\cdot \big(\log_{10}(3)-\log_{10}(10)\big)<\log_{10}(0.001)$. Vereinfache jetzt du mal weiter.

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n*(log₁₀ (3) - 1) < -3

n*((log₁₀ (3)) < -2

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Ok, wie kannst du es weiter vereinfachen?

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Nein, sorry. Deine zweite Zeile ist falsch.

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weiter komme ich nicht

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Du solltest dich mal mit Lösen von Ungleichungen beschäftigen.

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muss die 2. zeile

n*((log10 (3)) < -3+n

heißen?

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Das stimmt zwar, aber du willst n haben. Bedenke dass $\log_{10}(1)=0<\log_{10}(3)<1=\log_{10}(10)$ gilt.