Was gibt die Norm an? (Vektoren)

Question

Ich frage mich gerade, was die Norm bzw. die Länge (Betrag) eines Vektors angibt.

Ich habe hier einen Vektor v=(3,3,3):

Die Länge des Vektors ist dann ja:

\( ||\vec{v}||=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=5,19 \)

Und die Norm ist ja:

\( <\vec{v},\vec{v}>=\begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix}=3*3+3*3+3*3=27 \)

oder

\( ||\vec{v}||=3^2+3^2+3^2=27 \)

Die Länge(Betrag) ist ja die "Länge" des Vektors. Also quasi die Schwarze Linie in dem Bild.

Was gibt die Norm an?

Answer 1

Und die Norm ist ja:

\( <\vec{v},\vec{v}>=\begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix}=3*3+3*3+3*3=27 \)


oder

\( ||\vec{v}||=3^2+3^2+3^2=27 \)

Nein. Es gilt für Skalarprodukte und Normen stets der Zusammenhang \(\|v\|_2^2=\langle v,v\rangle\), wobei hier \( \|v\|_2\) die euklidische Norm ist. Damit hast du auch

 \(\|v\|_2=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{27}\approx 5,196\).

Answer 2

Normen sind eine Verallgemeinerung der Länge. Eine Norm erfüllt laut Definition die drei Axiome

1. Definitheit: ‖x‖ = 0 ⇒ x = 0
2. Absolute Homogenität: ‖α ⋅ x‖ = |α| ⋅ ‖x‖
3. Subadditivität oder Dreiecksungleichung: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

für alle Vektoren x, y und alle Skalare α.

Und die Norm ist ja: \(\langle\vec{v},\vec{v}\rangle\)

Das ist keine Norm, wegen \(\langle 2\vec{v},2\vec{v}\rangle = 108 \neq 2\cdot 27\). Die absolute Homogenität ist verletzt.

Allerdings ist \(\sqrt{\langle v,v\rangle}\) eine Norm, die sogenannte euklidische Norm. Die ist das gleiche wie die Länge.

Darüber hinaus gibt es weitere Normen, siehe dazu den Artikel über Normen in der Wikipedia.