Zeigen Sie, dass lim n→∞ n-√a = 1.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine reelle Zahl a >0

. Zeigen Sie, dass lim n→∞ n-√a = 1.

Hinweis:Unterscheiden Sie die drei Fällea >1,a= 1 unda <1. ̈Uberlegen Sie sich, dass Sie den Falla <1 auf den Falla >1 zurückführen können.

Answer 1

$$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} =\lim\limits_{n\to\infty} a^{\frac{1}{a}}=a^0=1$$

1)

$$a>1 ; b= a-1$$

$$1<\sqrt[n]{1+b} =\sqrt[n]{a}=$$$$\sqrt[n]{1^{n-1}(1+b)}$$$$<\frac{n*1+b}{n}=1+ \frac{b}{n} $$

$$1<\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} <\lim\limits_{n\to\infty} 1+\frac{b}{n} →1$$

2)$$a=1  ; \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{1} =1$$

3)

$$a<1 ; b= 1-a$$

$$1>\sqrt[n]{1-b} =\sqrt[n]{a}=$$$$\sqrt[n]{1^{n-1}(1-b)}$$$$<\frac{n*1-b}{n}=1- \frac{b}{n} $$

$$1>\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} >\lim\limits_{n\to\infty} 1-\frac{b}{n} →1$$

Comments

ja , ich weiss dass ich sowas machen kann , aber ich brauche ein Beweis , warum für jedes Fall.

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Ich habe die Antwort ergänzt, sie deutet an, wohin die Reise geht.

Das Problem ist immer. was vorausgesetzt werden darf.

Die Idee ist, den Limes einzuschachteln in zwei Folgen, deren Grenzwert wie kennen. Ich hoffe, dass angenommen werden kann, dass 1/n gegen Null strebt.

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das tut mir leid , aber damit bin ich nicht einverstanden ..