Schnitt von 3D-Modellen bestimmen

Question

Ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht ganz weiter:

Ich möchte die Schnittlinie von einem Kegel (lediglich der Mantel) und einer Ebene bestimmen.

Ebene: (0 | 1,5T | 0) + t * (1 | 0 | 0) + s * (0 | 1,5T | -3T)

Kegel: ((T - (z/4)) * cos(phi)) | (T - (z/4)) * sin(phi)) | z)

Meiner Meinung nach müsste ich jetzt beide Formeln in die kartesische Form umwandeln und diese gleichsetzen.
Dies klappt leider nicht ganz..

Weiß jemand weiter?

Gruß 

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Siehe auch https://www.mathelounge.de/791037/lasst-schnittlinie-einer-kegelmantel-gleichung-beschreiben - bist DU katharina254

Was soll das T in den Angaben der Ebene?

Im Zylinder sollte T=der Radius sein?

Gib mal vernünftige Angaben der originalen Aufgabe an!

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Die Frage habe ich auch bereits gesehen. Es handelt sich wohl um die gleiche / eine ähnliche Aufgabe, wie es scheint, allerdings bin ich nicht Katharina...

Das sind noch die weiteren Angaben der Aufgabe, die ich vergessen hatte, anzugeben:

Der Kegel hat einen Grundkreis mit Radius T, wobei sich die Mitte im Ursprung befindet und die Höhe h = 4T beträgt.

Die Ebene ist parallel zur -Achse und schneidet die y-Achse bei 1,5T und die z-Achse bei 3T.

Daher kommt das T in den Angaben der Ebene zustande.

Nun möchte ich die Schnittlinie der Ebene und des Kegels bestimmen. Dies würde ich durch Gleichsetzen machen, allerdings schaffe ich es nicht, Ebene und Kegel gleichzusetzen.

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weiteren Angaben der Aufgabe, die ich vergessen hatte, anzugeben

Das passiert hier öfters. Wie kann man um eine Antwort bitten wenn man nicht sagt, was die Frage ist. Das werde ich wohl nie verstehen.

Answer 1

Hallo,

Du hast eine Ebene \(E\) gegeben:$$E: \quad \vec x = \begin{pmatrix} 0\\1,5T\\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\1,5T \\-3T \end{pmatrix}$$Deren Normalform so aussieht:$$E: \quad \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \vec x = 3T$$Falls Du nicht weißt wie man dahin kommt, so melde Dich bitte. Und die Gleichung für den Kegel(mantel) \(K\) lautet$$K: \quad \vec x = \begin{pmatrix} \left(T - \frac z4\right)\cos(\varphi)\\ \left(T - \frac z4\right)\sin(\varphi) \\ z \end{pmatrix}$$Wenn man nun das \(\vec x\) des Kegels in die Ebenengleichung einsetzt ... $$\begin{aligned} 2\left(T - \frac z4\right)\sin(\varphi) + z &= 3T \\ z\left( 1 - \frac 12 \sin(\varphi)\right) &= T \left( 3 - 2 \sin(\varphi)\right) \\ z &= \frac{3 - 2 \sin(\varphi)}{1 - \frac 12 \sin(\varphi)}T \end{aligned}$$... erhält man eine Gleichung für \(z\) in Abhängigkeit des Parameters \(\varphi\). Das wiederum kann man in die Kegelgleichung einsetzen und hat dann ein \(\vec x(\varphi)\), also eine Parameterform für die Ellipse im Raum.

Das sieht in etwa so aus (für \(T=1\)):

   

klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im geoknecht3D. Ich habe noch drei Punkte der Ellipse eingezeichnet. Für \(\varphi=0\), \(\varphi=1\) und \(\varphi=\pi/2\).

Gruß Werner

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Vielen lieben Dank! So ergibt das alles einen Sinn :)

Falls Du nicht weißt wie man dahin kommt, so melde Dich bitte.

Könntest Du mir dabei nochmal helfen? Ich komme leider nicht auf die von dir angegebenen Normalform..

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Ich komme leider nicht auf die von dir angegebenen Normalform..

Die beiden Richtungsvektoren der Ebene sind:$$\vec r = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec s = \begin{pmatrix}0\\ 1,5\\ -3\end{pmatrix}$$einen Normalenvektor \(\vec n\), der auf den beiden und damit auf der Ebene senkrecht steht, findet man über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren$$\vec n' = \vec r \times \vec s = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 1,5\end{pmatrix}$$und da es beim Normalenvektor nur auf die Richtung ankommt, dividiere ich \(\vec n'\) noch durch \(1,5\), um ganze Zahlen als Koordinaten zu erhalten:$$\vec n = \frac 1{1,5} \vec n' = \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$$dann bildet man das Skalarprodukt von \(\vec n\) mit einem Punkt der Ebene, das ist hier \(\begin{pmatrix}0& 1,5T& 0\end{pmatrix}^T\), für die rechte Seite der Normalengleichung der Ebene:$$E: \quad \vec n \cdot \vec x = \vec n \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1,5T\\ 0\end{pmatrix} \\ \implies \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \vec x = 2 \cdot 1,5T$$Man hätte den Normalenvektor auch dem Bild oben (der rote Vektor) entnehmen können. Die Ebene verläuft parallel zur X-Achse und \(\vec n\) liegt parallel zu dem um 90° gedrehten Vektor \(\vec s\). D.h. die Y-Koordinate von \(\vec n\) verhält sich zur Z-Koordinate wie \(2 \div 1\).

Rotiere das Bild im geoknecht3D mit der Maus, dann sollte das zu sehen sein.

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Nun habe ich es verstanden :S

Dankeschön und noch einen schönen Tag! :)

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@Werner-Salomon

Ist Dir vielleicht bekannt, wie man den Hoch- und Tiefpunkt der Schnittlinie schriftlich bestimmen kann?

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Ist Dir vielleicht bekannt, wie man den Hoch- und Tiefpunkt der Schnittlinie schriftlich bestimmen kann?

Ja - Hoch- und Tiefpunkt liegen dort, wo die Z-Koordinate den maximalen bzw. minimalen Wert hat. Folglich braucht man nur die Extremstellen von \(z=z(\varphi)\) (s.o.) berechnen. Die Funktion sieht so aus:

~plot~ (3-2*sin(x))/(1-sin(x)/2);x=pi/2;x=-pi/2 ~plot~

Oder Du schaust auf das Bild. Dort kann man mehr oder weniger ablesen: $$z_{\min} = z\left(\frac {\pi}2\right) = 2T, \quad z_{\max} = z\left( -\frac{\pi}2\right) = \frac{10}3 T$$