Wie lautet die Matrix A der Drehung im R² (Drehungsmittelpunkt ist (0,0))?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Matrix A der Drehung im R² (Drehungsmittelpunkt ist (0,0))?

Problem/Ansatz:

Benötige ich hier nicht noch eine Angabe?

Ich weiß, dass

ich den Vektor vom Mittelpunkt zu meinem Punkt bilden sollte (aber ich hab ja nur den Drehungsmittelpunkt gegeben und keinen anderen Punkt?)


Und dann bräuchte ich die Drehmatrix für die Drehung, die
so aussieht :

cos(a)      - sin(a)
sin(a)        cos(a)

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Hallo Antonia,

Wie lautet die Matrix A der Drehung im R² (Drehungsmittelpunkt ist (0,0))?

Die lautet:$$A = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)& \cos(\alpha)\end{pmatrix}$$genau so, wie Du es schon geschrieben hast.

Benötige ich hier nicht noch eine Angabe?

Den Winkel \(\alpha\) natürlich. Das reicht um eine Drehung um den Ursprung zu definieren.

Aber ich nehme an, Du hast da noch mehr Fragen - oder?

Gruß Werner

Comments

Meine Angabe ist:

a.) Wie lautet die Matrix A der Drehung im R² (Drehungsmittelpunkt ist (0,0))?
b.) Drehe das Quadrat mit den Eckpunkten {(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)} um den
Koordinatenursprung um +45°. Spiegle das gedrehte Quadrat dann an der x-Achse
(Abbildungsmatrix B). Man gebe die Koordinaten an. Wie lautet die Abbildungsmatrix,
welche beide Abbildungen verknüpft? Ist die Reihenfolge der Durchführung der Abbildungen
von Bedeutung (AB=BA)?

Das bedeutet dann ja einfach, dass meine Matrix A

cos(a)      - sin(a)
sin(a)        cos(a)

ist. Oder?

VIELEN VIELEN DANK! Und liebste Grüße

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Drehe das Quadrat mit den Eckpunkten {(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)} um den
Koordinatenursprung um +45°

$$A = \begin{pmatrix}\frac 12 \sqrt 2& -\frac 12 \sqrt 2\\ \frac 12 \sqrt 2& \frac 12 \sqrt 2\end{pmatrix}$$

Spiegle das gedrehte Quadrat dann an der x-Achse (Abbildungsmatrix B).

$$B = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$Bei den Abbildungen werden diese von rechst nach links abgearbeitet. Dreht man erst und spiegelt dann ist die Abbildung $$B \cdot A$$Multipliziert man \(BA\) mit den vier Ecken \(e_{1\dots 4}\) des Quadrats, so erhält man$$e_{1 \dots 4}' = \begin{pmatrix}0& 0,707& 0& -0,707\\ 0& -0,707& -1,414& -0,707\end{pmatrix}$$

~draw~ rechteck(0|0 1 1);polygon(0|0 0.707|-0.707 0|-1.414 -0.707|-0.707);zoom(4) ~draw~

Ist die Reihenfolge der Durchführung der Abbildungen von Bedeutung (AB=BA)?

Ja! \(AB \ne BA\)

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ich kann dir/ Ihnen gar nicht genug danken! Vielen vielen DANK!!!!

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Wie bestimme ich denn den Winkel alpha in diesem Beispiel an einen beliebigen Vektor? Vielen Dank im voraus.

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Wie bestimme ich denn den Winkel alpha in diesem Beispiel an einen beliebigen Vektor? Vielen Dank im voraus.

In diesem Kontext meinst Du wahrscheinlichden Winkel, den ein Vektor gegenüber der X-Achse einnimmt. Ist ein Vektor \(\vec v\) gegeben$$\vec v = \begin{pmatrix}v_x\\ v_y\end{pmatrix}$$so ist sein Winkel \(\alpha\) gegenüber der X-Achse:$$\alpha = \begin{cases} \arctan\left( \frac{v_y}{v_x} \right) &\text{für} \space v_x \gt 0 \\ 90° & v_x = 0 \land v_y \gt 0 \\  \arctan\left( \frac{v_y}{v_x} \right) + 180° & v_x \lt 0 \\ -90° & v_x = 0 \land v_y \lt 0\end{cases}$$das alles kann man auch mit der Funktion arctan2 abkürzen, welche in manchen Tabellenkalkulationsprogrammen und Programmiersprachen zur Verfügung gestelt wird.