Beweis Aufgabe/ Additiontheoreme

Question

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Es sei \( \mathrm{K}_{\alpha} \) der zu \( \alpha \) gehörige Punkt auf dem Einheitskreis. Es sei \( \mathrm{K}_{\alpha}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{y}_{1}\end{array}\right) \) und \( \mathrm{K}_{\beta}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{2}\end{array}\right) . \) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{K}_{(\alpha+\beta) / 2}=\frac{1}{\sqrt{2 \cdot\left(1+\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \cdot \mathrm{y}_{2}\right)}} \cdot\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}\end{array}\right) \) gilt.

Answer 1

Betrachte die beiden Ortsvektoren. Du bekommst die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen

\( \left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{y}_{1}\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{2}\end{array}\right) . \)

durch deren Summe, da beide gleichlang (Länge 1) sind.

Jetzt musst du diese Summe nur noch auf die Länge 1 bringen, damit der

zugehörige Punkt auch auf dem Einheitskreis liegt.

Dazu brauchst du die Länge von \( \left(\begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2} \\ {y}_{1}+{y}_{2}\end{array}\right) \) und musst mit deren Kehrwert

multiplizieren. Die Länge ist gerade die Wurzel im Nenner; denn bedenke

x₁^2 + x₂^2 = 1  und y₁^2 + y₂^2 = 1 .