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Text erkannt:

Es sei Kα \mathrm{K}_{\alpha} der zu α \alpha gehörige Punkt auf dem Einheitskreis. Es sei Kα=(x1y1) \mathrm{K}_{\alpha}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{y}_{1}\end{array}\right) und Kβ=(x2y2). \mathrm{K}_{\beta}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{2}\end{array}\right) . Zeigen Sie, dass K(α+β)/2=12(1+x1x2+y1y2)(x1+x2y1+y2) \mathrm{K}_{(\alpha+\beta) / 2}=\frac{1}{\sqrt{2 \cdot\left(1+\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \cdot \mathrm{y}_{2}\right)}} \cdot\left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}\end{array}\right) gilt.

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Betrachte die beiden Ortsvektoren. Du bekommst die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen

(x1y1) \left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{y}_{1}\end{array}\right) und (x2y2). \left(\begin{array}{l}\mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{y}_{2}\end{array}\right) .

durch deren Summe, da beide gleichlang (Länge 1) sind.

Jetzt musst du diese Summe nur noch auf die Länge 1 bringen, damit der

zugehörige Punkt auch auf dem Einheitskreis liegt.

Dazu brauchst du die Länge von (x1+x2y1+y2) \left(\begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2} \\ {y}_{1}+{y}_{2}\end{array}\right) und musst mit deren Kehrwert

multiplizieren. Die Länge ist gerade die Wurzel im Nenner; denn bedenke

x12 + x22 = 1  und y12 + y22 = 1 .

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