Basis zu Darstellungsmatrix finden

Question

(11) Sei \( T: \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathbb{Q}^{2} \) die lineare Abbildung definiert durch \( T(x, y)=(-y, x) \). Dann gibt es eine geordnete Basis \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{Q}^{2} \) mit \( [T]_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right) \)

Ich muss zeigen ob es so eine Basis B gibt. Falls eine so eine existiert, wie kann ich sie finden? Mit einem Gleichungssystem?

Answer 1

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Deine Angaben richtig interpretiere

\(\small bTb \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&1\\2&3\\\end{array}\right)\)

und die Abbildung (Drehung) als

\(\small eTe \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right)\)

die unbekannten Basisvektoren ergeben eine Basistransformation

\(\small eTb \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}b11&b21\\b12&b22\\\end{array}\right)\)

===> \(\small bTb = eTb^{-1} \; eTe \; eTb\) ===> \(\small eTb \; bTb - eTe \; eTb=0\)

das ergibt ein homogenes LGS

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&2&1&0\\1&3&0&1\\-1&0&1&2\\0&-1&1&3\\\end{array}\right)\; b = 0\)

welches nur die triviale Lösung hat - also gibt es keine Basis b mit diesen Eigenschaften...

Comments

Vielen Dank.

Wie bist du auf das LGS gekommen?

Ahh habs vertsanden. Nochmals vielen Dank für deine Antwort.