Aufgabe:
Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über einem Körper \( K \) und sei zudem \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Es gilt \( f(0)=0 \).
(ii) Es gilt \( f(-v)=-f(v) \) für alle \( v \in V \).
(iii) Werden mindestens zwei Vektoren aus \( V \) auf den Nullvektor abgebildet, so bildet \( f \) jeden Vektor aus \( V \) auf den Nullvektor ab.
(iv) Ist \( \left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I} \) so, dass \( \left(f\left(v_{i}\right)\right)_{i \in I} \in W^{I} \) linear unabhängig ist, so ist auch \( \left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I} \) linear unabhängig.
(v) Ist \( \left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I} \) eine Basis so, dass \( \left(f\left(v_{i}\right)\right)_{i \in I} \in W^{I} \) eine Basis ist, so ist \( f \) ein Isomorphismus.
