zwei urnen mit tausch von schwarz und weißen kugeln

Question

Ich hab da mal eine Frage:

Urne A enthalte 5 weiße und 7 schwarze Kugeln und Urne B enthalte 8 weiße und 3 schwarze Kugeln.
Wir ziehen zunächst zufällig eine Kugel aus A und fügen diese der Urne B hinzu. Danach wird zufällig
eine Kugel aus B gezogen und zu A hinzugefügt. Zum Schluß wird zufällig eine Kugel aus A gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zuletzt gezogene Kugel weiß ist?

Answer 1

 

Urne A: 5 weiße, 7 schwarze Kugeln

Urne B: 8 weiße, 3 schwarze Kugeln

 

Es gibt folgende Zugmöglichkeiten und Einzelwahrscheinlichkeiten:

P(www) = 5/12 * 9/12 * 5/12 = 225/1728

P(wws) = 5/12 * 9/12 * 7/12 = 315/1728

P(wsw) = 5/12 * 3/12 * 4/12 = 60/1728

P(wss) = 5/12 * 3/12 * 8/12 = 120/1728

P(sww) = 7/12 * 8/12 * 6/12 = 336/1728

P(sws) = 7/12 * 8/12 * 6/12 = 336/1728

P(ssw) = 7/12 * 4/12 * 5/12 = 140/1728

P(sss) = 7/12 * 4/12 * 7/12 = 196/1728

 

Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist 1.

Die rot markierten Wahrscheinlichkeiten müssen addiert werden und ergeben dann eine Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass die letzte gezogene Kugel weiß ist, von

P = 761/1728 ≈ 0,44039 ≈ 44,04%

 

Besten Gruß